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在系統(tǒng)的不同平面上，電磁場(chǎng)分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學(xué)建模中的頻繁操作。我們介紹一個(gè)場(chǎng)所謂的幾何區(qū)域，在該區(qū)域中傅里葉變換可以在不進(jìn)行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數(shù)值方式得到。在幾何場(chǎng)域中，場(chǎng)由波前相位控制，因此允許我們將穩(wěn)定相位的概念應(yīng)用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項(xiàng)技術(shù)被證明是快速物理光學(xué)的基礎(chǔ)支柱。 jhb6T ?}
6er-{.L= 1.光學(xué)傅立葉變換 -bS SP!f
&i$ldR 在物理光學(xué)中，我們處理電磁場(chǎng)的六個(gè)復(fù)數(shù)場(chǎng)分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為 7aQc=^vaZ
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 *fn*h[pV& 9*{[buZX 其中 ，傅立葉變換到k域定義為 &8g? 4v  （2） &QGdLXO n 其中，我們使用符號(hào) 29?,<b B)
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 (3) Cc%LztP> er!DYv 方程2中積分的數(shù)值評(píng)估需要對(duì)a和k域中的場(chǎng)進(jìn)行取樣，我們用N表示采樣點(diǎn)的數(shù)量，所得的離散傅里葉變換構(gòu)成了N2運(yùn)算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學(xué)建模成為可能，但FFT需要 的采樣。在光學(xué)中，我們通常有強(qiáng)梯度的相位函數(shù)，從而導(dǎo)致很大的N值，只有在十分對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學(xué)上遇到N太大而不能進(jìn)行快速計(jì)算傅里葉變換的問(wèn)題，這是快速物理光學(xué)概念的嚴(yán)重阻礙。 <7j8 7
\v.C]{Gzc 為了進(jìn)一步研究，我們用波前相位Ψ將 分解（跳過(guò)ω）為 Te<}*qvD
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 (4) _YLf L a *ushB 對(duì)于所有分量都是一樣的。 顯然，方程 4中的分解是模糊的，其依賴于從源場(chǎng)出發(fā)建模中恰當(dāng)?shù)南辔惶幚矸绞�。由定義 得分解結(jié)果 :$m}UA-9
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ihAU" ^`)) C; 類似地，我們可以得到 R}4So1
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 (6) Pl"Nus JAQb{KefdO 其中波前相位 在k域上。應(yīng)該提到的是，根據(jù)方程 5與 在幾何光學(xué)上是已知的，然后 ，S為光程函數(shù)。我們想強(qiáng)調(diào)的是，方程 5的分解在物理光學(xué)中是更一般和純粹的數(shù)學(xué)方法，我們的目標(biāo)可以表述如下：我們對(duì)不通過(guò)采樣波前相位因素來(lái)進(jìn)行傅里葉變換的技術(shù)十分感興趣，此時(shí)Ψ和是可通過(guò)半解析傅里葉變換實(shí)現(xiàn)的二次多項(xiàng)式的形式[1]。這里我們想討論一個(gè)概念，適用于一般的波前相位，但在強(qiáng)波前相位近似，它使用穩(wěn)定相位的概念。 MBhWMCN2 /.o^R6 2 幾何傅里葉變換理論 ]jmL]Ny ^ 穩(wěn)定相方法的應(yīng)用在光學(xué)中是眾所周知的，例如，用于討論[2]中的衍射積分。我們將其用于快速計(jì)算方程2的傅里葉變換積分。為此，我們假設(shè)除臨界點(diǎn)附近以外 在通過(guò)z的平面內(nèi)具有比U（ρ，z）高得多的空間頻率。 根據(jù)穩(wěn)定相位的概念，直接導(dǎo)致基本方程（跳過(guò)z ) 06N}k <10O
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 (7) ysQ,)QoiR{ GJtZ&H 其中 方程7表示k和p之間的映射，我們假設(shè)這個(gè)映射是開(kāi)放、雙射和連續(xù)的，這意味著它構(gòu)成了一個(gè)同胚，這是波前相位 平滑的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并確保k域中的結(jié)果場(chǎng)可以在非等距網(wǎng)格上插值。在光學(xué)中，當(dāng)場(chǎng)不在苛性區(qū)時(shí)，通常滿足這種條件，穩(wěn)定相位的概念也揭示出來(lái) m6[0Kws&  (8) Vc2A 由φ(p)的勒讓變換 *2 2nVKi {
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 (9) fi$-;Gz 7lBAxqr2 復(fù)函數(shù) }A7j/uy}s
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