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[技術(shù)]標(biāo)準(zhǔn)具和晶體中的電磁場(chǎng)傳輸算法 [復(fù)制鏈接]

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由平行平面構(gòu)成的光學(xué)層在光學(xué)中廣泛應(yīng)用。層狀結(jié)構(gòu)可以用作許多不同情況的模型，像平板和標(biāo)準(zhǔn)具�；谶@個(gè)事實(shí)，光與層狀結(jié)構(gòu)相互作用的主題一直引起大家的注意并且對(duì)此已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究。

在這類研究中，大多數(shù)觀點(diǎn)都側(cè)重于平面波，然而僅僅少數(shù)的研究使用了平面波譜方法（SPW）來(lái)考慮一般的電磁場(chǎng)。例如，參考文獻(xiàn)[1-6]中研究了各向同性-各向同性的界面上，高斯光束的反射率和透射率；在參考文獻(xiàn)[7-11]中研究了各向同性層或者平板的情況；參考文獻(xiàn)[12-22]討論了各向同性-各向異性界面的情況，在參考文獻(xiàn)[23-26]中則討論了各向異性層或者平板的情況。

上面所提到的許多研究都用于特定的研究主題，像[1,3,5]中研究了高斯光束全內(nèi)反射的橫向偏移，并且他們常常關(guān)注于具體的配置。因此，將這些方法推廣到更一般的情況的可能性受到了限制。

在這篇文章中，我們從一個(gè)更一般的觀點(diǎn)來(lái)考慮此問題。光學(xué)層幾乎不會(huì)單獨(dú)使用；相反，他們常常是一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的一部分并且和其他的元件一起使用，如圖1中所示�；诖耸聦�(shí)，我們遵循場(chǎng)追跡的概念[27]，并使用不同的場(chǎng)追跡算子組合[28-32]，如圖1中所示，以對(duì)一個(gè)包含了層介質(zhì)元件的系統(tǒng)進(jìn)行物理光學(xué)模擬�？紤]到模擬是對(duì)整個(gè)系統(tǒng)而不是單個(gè)元件，仿真層結(jié)構(gòu)必須與系統(tǒng)的前后部分相連接。這要求我們傳播步驟（圖1中的P）進(jìn)行適當(dāng)?shù)目紤]，將前一個(gè)元件的輸出連接到當(dāng)前元件的輸入，并將當(dāng)前元件的輸出傳遞到下一個(gè)元件。一般情況下，這樣的傳輸步驟會(huì)出現(xiàn)在平行或者非平行平面之間。在參考文獻(xiàn)[28,29]中已經(jīng)提到了平行平面間幾種有效的傳輸方法，在參考文獻(xiàn)[33]中則可以找到對(duì)非平行平面間傳輸?shù)囊粋€(gè)詳細(xì)的討論。在這篇文章中，我們不會(huì)研究傳輸步驟，但會(huì)關(guān)注層狀結(jié)構(gòu)的元件算子C。

此外，從數(shù)值計(jì)算的觀點(diǎn)出發(fā)，為了執(zhí)行一個(gè)連續(xù)且有效的系統(tǒng)模擬，要求元件算子C

正確地處理采樣場(chǎng)數(shù)據(jù)并和其他的算子以一種統(tǒng)一的格式傳遞場(chǎng)數(shù)據(jù)；

優(yōu)化數(shù)值計(jì)算的效率。

考慮到上述兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，我們開發(fā)了一種具有自動(dòng)數(shù)值采樣規(guī)則的SPW方法。與之前一些利用積分方法對(duì)空間和角譜相關(guān)的傅里葉變換進(jìn)評(píng)估的研究相比（如參考文獻(xiàn)[23]中的二維中點(diǎn)規(guī)則和參考文獻(xiàn)[12-14，20，25]中的Stamnes–Spjelkavik–Pedersen方法[34]），我們使用了快速傅里葉變換（FFT）技術(shù)，此技術(shù)在大部分?jǐn)?shù)值軟件包中容易訪問并且效率高。再加上在角譜域中經(jīng)過深入考慮的數(shù)值采樣規(guī)則，我們的方法具有一般適用性，對(duì)層元件和入射場(chǎng)沒有任何限制。因此，此算法可以直接包含在一個(gè)物理光學(xué)系統(tǒng)模擬之中。

圖1.結(jié)合使用不同的場(chǎng)追蹤算子來(lái)模擬光學(xué)系統(tǒng)： C是元件算子，P是相鄰元件之間的傳輸算子。

2.理論

如圖2所示，層狀結(jié)構(gòu)分別由兩個(gè)位于

和

的平行平面構(gòu)成。

和

的區(qū)域充滿了復(fù)折射率為

和

的均勻各向同性介質(zhì)。參考文獻(xiàn)[27]中表明使用橫向分量Ex和Ey已足夠表征均勻各向同性介質(zhì)中電磁場(chǎng)了。因此，我們可以使用以下表達(dá)式來(lái)描述此問題：

其中，分別在平面

和

處定義輸入和輸出橫向電場(chǎng)矢量，（兩者位于界面的數(shù)學(xué)位置，但總是認(rèn)為在均勻介質(zhì)的一側(cè)），由下式給出

其中

。方程（1）中的元件算子是一個(gè)2x2的矩陣形式，

圖2.層狀結(jié)構(gòu)分別由兩個(gè)位于

和

的平行平面構(gòu)成。

和

的區(qū)域由均勻各向同性介質(zhì)填充，其折射率分別是

和

。輸出場(chǎng)和輸出場(chǎng)在層表面進(jìn)行定義，但總是在相應(yīng)的各向同性介質(zhì)的一側(cè)。

在這章節(jié)，我們的目標(biāo)是找到C的精確的形式，以連接層介質(zhì)元件的輸入和輸出場(chǎng)。為了研究與層結(jié)構(gòu)的相互作用，我們對(duì)輸入橫向場(chǎng)分量進(jìn)行了一個(gè)傅里葉變換，并獲得了

其中

, F表示二維傅里葉變換，

。逆傅里葉變換定義如下

方程（6）中的積分可以解釋為將

分解為具有不同橫向波矢分量κ的平面波。因此，在我們的情況下，每個(gè)輸入平面波都可以單獨(dú)處理——我們首先計(jì)算每個(gè)輸入平面波的輸出，然后進(jìn)行求和從而獲得輸出場(chǎng)。
此外，根據(jù)邊界條件對(duì)電磁場(chǎng)施加的連續(xù)性要求，可以顯示出一個(gè)給定的輸入平面波在與層結(jié)構(gòu)相互作用的過程中其橫向波矢分量κ必定保持不變。同樣可以顯示出，通過疊加原理的有效性，不同的κ之間沒有耦合。因此，對(duì)于輸出角譜，我們可以寫下

其中

公式（8）中分別是透射和反射系數(shù)矩陣。為了計(jì)算T(κ) 或者R(κ)，我們選擇使用數(shù)值穩(wěn)定S矩陣方法。為了計(jì)算S矩陣，首先必須確定每個(gè)各向異性層的平面波�；谖墨I(xiàn)[35]中Berreman的4x4矩陣公式，Landry和Maldonado開發(fā)并展示了一種數(shù)值友好的形式，見參考文獻(xiàn)[23]。我們采用了他們的方法，對(duì)于每一層，求解了參考文獻(xiàn)[23]中由方程（28）所描述的特征系統(tǒng)的特征值和特征向量。
不同于[23，25]中直接使用本征解來(lái)構(gòu)建一個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣，另外，我們還需要根據(jù)他們的傳輸方向整理出平面波，這是為計(jì)算S矩陣所做的一個(gè)必需的準(zhǔn)備。為此，我們遵循[36]中4.3部分由Li所提出的標(biāo)準(zhǔn)。
然后可以應(yīng)用遞歸S矩陣公式。我們?cè)谶@篇文中不再重復(fù)給出已發(fā)展成熟的S矩陣方法，讀者可以參考文獻(xiàn)[37]中的方程（5）-（8）以獲得更多的信息。在我們的情況中，由于沒有反向傳輸輸入場(chǎng)，我們僅對(duì)正向透射或者反向反射感興趣，因此這篇文章中的矩陣系數(shù)T(κ) 和R(κ)對(duì)應(yīng)于[37]中方程（5c）或者（5d）中的子矩陣T_uu 或者R_du。
一旦獲得了矩陣系數(shù)，通過方程(7)即可獲得輸出角譜。對(duì)輸出角譜進(jìn)行一個(gè)逆傅里葉變換，我們獲得了輸出橫向場(chǎng)矢量

通過聯(lián)合方程（4），（7），（9），我們可以寫出從輸入場(chǎng)到輸出場(chǎng)整個(gè)計(jì)算流程，如果

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