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    [技術]半解析快速傅里葉變換 [復制鏈接]

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    只看樓主 倒序閱讀 樓主  發(fā)表于: 2023-07-19
    我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。 v!<FeLW  
     xZV|QVY;  
    1.簡介 N5cC!K  
     `\3RFr  
    物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數(shù)值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數(shù)量近似成線性關系。在光學中，我們經常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數(shù)值計算工作，甚至在FFT中也是如此。 /9P7;1?  
     $mf6!p4  
    2.理論 !@ AnwV]  
    2.1 場的表征：提取二次相位 yC|odX#  
     !l .^]|  
    我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號對應6個場分量，也就是V = (E, H)： l}g_<  
     { M[iYFg=  
    =PjdL3 2  
    (1) Tn>L?  
    在公式1中，我們假設場有兩部分：衍射場和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場。假設exp(iψ(ρ))可由其實數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出： =3 ;! 5P  
    0\"]XYOH  
    (2)
    顯然，在強二次相位情況中，全場比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V(ρ)的傅里葉變換。 iE{VmHp=  
     ('=Q[ua7-(  
    2.2.半解析傅里葉變換 >DzW  OB  
     2Aa  
    從卷積定理可知： "*d%el\63  
    *;T HD>  
    (3) |hu9)0 P  
    通常來說，項必須進行數(shù)值計算處理。另一方面，從數(shù)學角度[2]我們可知： 6gq`V,  
    v?DA>  
    (4) k>\s6  
    適用于任何復，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。 L9z5o(Aa  
    在該數(shù)學工具的幫助下，項κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導出來： ( M3-S5   
                         (5)
    其中： eE0nW+i  
                          (6)
    其中常數(shù)項。 $f6wmI;<y  
    將公式5帶入公式3，通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)可以表示為： 7V~ gqum  
    (7)
    其中： \