在物理
光學(xué)中，我們使用麥克斯韋方程組處理
電磁場(chǎng)。為了快速求解該方程組，我們將不同的麥克斯韋算子結(jié)合在一個(gè)非序列場(chǎng)追跡概念中。進(jìn)一步的，快速物理光學(xué)概念的支柱是：（1）盡可能在k域求解麥克斯韋方程組。（2）根據(jù)處于哪一個(gè)場(chǎng)域，使用常規(guī)或
幾何傅里葉變換，選擇k域或空間域。（3）通過所謂的雙向算子
仿真光學(xué)組件的效應(yīng)。（4）幾何雙向算子的引入。這些概念的結(jié)合產(chǎn)生了一種物理光學(xué)理論，其具有快速建模算法，該算法固有地以定義明確、有說服力的方式應(yīng)用了幾何和
衍射模型。
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/hl 1.場(chǎng)追跡圖
tllBCuAe bYh9 sO/l 一個(gè)
光學(xué)系統(tǒng)的麥克斯韋方程組的解可以通過非序列場(chǎng)追跡算法得到[1]。這導(dǎo)致所有通過系統(tǒng)中不同光路的
模擬，都由一系列自由空間傳播步驟和與空間中非均勻區(qū)域，例如光學(xué)器件的互作用組成。從
光源平面中的場(chǎng)開始，自由空間算子P規(guī)定了在下一個(gè)組件平面上的場(chǎng)，其中組件的響應(yīng)由算子B給出。這些算子應(yīng)用于x域或k域。一個(gè)光路的模型可以由所謂的場(chǎng)追跡圖說明，圖1給出了相應(yīng)的例子。
Hwe)Tsh e r<L#q)] 圖1 物理光學(xué)中一個(gè)光路的場(chǎng)追跡圖模型。參數(shù)j指明了應(yīng)用算子的場(chǎng)參考平面。 ;? uC=o>Z{
盡管電磁場(chǎng)包含六個(gè)場(chǎng)分量，場(chǎng)追跡算法仍然可以通過ρ=(x,y)，E┴(ρ,ω)=(Ex(ρ,ω), Ey(ρ,ω))正式地表示，缺失的四個(gè)分量可以根據(jù)E┴的需求計(jì)算。在k域中，這些計(jì)算遵循簡(jiǎn)單的代數(shù)方程。
r7!J&8;{K 自由空間算子方程由 給出，輸入平面場(chǎng)為 ，輸出平面（輸入平面的下一個(gè)算子）的結(jié)果為 。如果輸入/輸出平面不平行，則傳播算子P通過衍射積分和附加的傾斜算子表示自由空間中的傳播[2]。盡管在空間域中，傳播被表示為有大量數(shù)值計(jì)算成本的衍射積分，但在k域中，對(duì)于平行平面和非平行平面的附加坐標(biāo)變換，我們則有簡(jiǎn)單的表達(dá)式（
）
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(1)
$
A-b vL 通過選擇常規(guī)或幾何傅里葉變換[3]，可以來回轉(zhuǎn)換k域和空間域，不同的衍射積分遵循空間域中的公式1，包括Rayleigh-Sommerfeld、遠(yuǎn)場(chǎng)和Debye積分。k域中自由空間傳播的簡(jiǎn)單性是快速物理光學(xué)選擇k域的一個(gè)重要原因。另一個(gè)原因是可以從 快速代數(shù)計(jì)算 和 。下面將介紹場(chǎng)追跡算法中的B算子。
azb=(l- - Ubj6 t_K 2.雙向算子
T"E( F 5>ST"l_ca 空間域中我們有B算子
，并且類似的在k域中有
。兩個(gè)域中的算子都有矩陣形式，例如k域?yàn)?span style="display:none"> 5y _"
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(2)
VZA3IbK} 這個(gè)矩陣中每一個(gè)算子都代表一個(gè)積分運(yùn)算符，例如k域中有如下積分形式（忽略ω）
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(3)
1}`LTPW9 其中K²代表輸入組件的一系列k值， V為場(chǎng)分量的位置標(biāo)識(shí)符， B表示公式2中一個(gè)矩陣元素的積分核函數(shù)。因?yàn)?kx,ky)代表k域中傳輸?shù)钠矫娌ǖ姆较�，在K²的子集中核函數(shù)
也可以被理解成方向角度的函數(shù)，說明了B是電磁場(chǎng)的雙向散射分配函數(shù)（BSDF）的概括，盡管BSDF僅僅闡述了場(chǎng)能量效應(yīng)。
nY) .|\|i Gbd?%{Xc- T2Z[AvNXFk 圖2 上圖展示了正弦表面光柵中的場(chǎng)，通過有限元方法（FEM）計(jì)算。此外，也使用了局部平面近似（LPIA）方法計(jì)算。在下圖中展示了兩種方法的結(jié)果，平面中結(jié)果場(chǎng)的振幅標(biāo)為紅色。由Rui Shi提供。 n'64;J5
這必然被包含在了公式3中。因?yàn)锽SDF的關(guān)系，我們選擇 作為雙向算子或者簡(jiǎn)化B算子。總的來說，計(jì)算B(k,k')和它在公式3中積分計(jì)算的應(yīng)用需要大量的數(shù)值計(jì)算而且很慢。但是，在分層介質(zhì)情況下，我們可以得到簡(jiǎn)化的形式
，減少了乘積的積分，并且能夠快速計(jì)算k域中的算子[4]。如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應(yīng)，空間域中算子B則變成簡(jiǎn)單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過選擇合適的傅里葉變化來模擬這個(gè)效應(yīng)，這在圖1中通過第一個(gè)B算子解釋了。當(dāng)然光學(xué)的主要任務(wù)是研究電磁場(chǎng)傳播通過兩種介質(zhì)間的一般表面，例如
透鏡模型。
! VRI_c %7 `d/dgR 3.幾何算子
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