The most common type of beam expander is derived from the Galilean telescope which  usually has one negative input lens and one positive output lens, as shown in  Figure 1.  The input lens presents a virtual beam focus at the output.  For low expansion ratios (1.3-20′), the Galilean telescope is most often employed due to its simplicity, small package size, and low cost.Figure 1: Diagram of a beam expander

As shown in  Figure 1, the lens M3 focuses the laser beam onto the front focus plane and the new beam waist w￠0  and divergence angle q￠  can be represented as
 (1)
and
 (2)
 

 (3)
where w(l) is the radius of the beam entering the lens M3, l is the distance between the lens M3 and the beam waist w0 from the laser generator, and f3 is the focal length of the lens M3.