Since w0￠ lies on the back focus plane of the lens M4 with a longer focal length, f4, the Gaussian beam with a beam waist w￠0 will be collimated by the beam expander.  The collimation ratio of the beam expander for a Gaussian beam is as follows

 (4)
where T1 = f4/f3.  The beam waist w20 and divergence angle q2 after the beam expander are

 (5)
and

 (6)
Substituting Equation (1) into Equation (5), the following expression can be obtained

 (7)
From Equations (4)-(7), it is concluded that the beam expansion ratio and the collimation ratio for a Gaussian beam depend not only on the specifications of  the beam expander, but also on the laser beam parameters as well as the positions of the optical lenses. 
The function of a beam expander is to reduce the divergence angle of laser beams and thus make the focused beam diameter smaller.