運(yùn)用智能光線進(jìn)行物理光學(xué)建模 B,A/
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3L;)as F Frank Wyrowski and Christian Hellmann &yP9vp="
7.]xcJmt>' 光線光學(xué)早在2000年以前就已經(jīng)建立了光學(xué)建模和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。而在最近的數(shù)十年中，光線追跡軟件的出現(xiàn)為我們帶來(lái)了解決光學(xué)和光子學(xué)問(wèn)題的強(qiáng)大的光學(xué)設(shè)計(jì)技術(shù)。然而，隨著高級(jí)光源的開(kāi)發(fā)和應(yīng)用，微納結(jié)構(gòu)加工工藝的成熟以及各種應(yīng)用和光學(xué)相關(guān)功能的增強(qiáng)，光線光學(xué)的限制變得越來(lái)越明顯。因此，基于物理光學(xué)的光學(xué)建模技術(shù)變得必不可少，其也是未來(lái)光學(xué)設(shè)計(jì)軟件開(kāi)發(fā)中順理成章的一步。這就要求我們將光線追跡推廣并將其與衍射建模技術(shù)聯(lián)合起來(lái)。 rv\<Q-uQ8 [g%oo3`A 在光線光學(xué)中，我們使用源于光源的光線來(lái)描述光。數(shù)學(xué)上，光線由位置和方向矢量來(lái)表示。光線傳播通過(guò)介質(zhì)，其光學(xué)“阻抗”通過(guò)折射率來(lái)描述。應(yīng)用此概念，通過(guò)改變光線在空間的方向和位置矢量以此來(lái)表述光的傳播。光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播，不同介質(zhì)間界面的折反定律和漸變折射率介質(zhì)中的光線方程，所有這些光線光學(xué)的基本定律都可以從費(fèi)馬定律中得出。簡(jiǎn)而言之，即光線沿所需最少時(shí)間的路徑傳播。基于費(fèi)馬原理的光學(xué)建模構(gòu)建了光線光學(xué)，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，由于光線模型是一個(gè)幾何概念，因此費(fèi)馬原理同樣適用于幾何光學(xué)。 Q#vur o Nc]]e+N#V 光線追跡軟件為我們提供了用以光線光學(xué)建模的數(shù)值工具。通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的3D光路是一個(gè)典型的通過(guò)光線光學(xué)研究方法獲得的物理量。通過(guò)它，我們可以進(jìn)一步得出任意平面和表面處的點(diǎn)列圖，方向圖以及光程（Fig.1）。這為我們提供了特別是進(jìn)行透鏡系統(tǒng)分析和優(yōu)化所需的所有基本信息，其在光線追跡中大受歡迎。 e0aeiG$/0 光線追跡法同樣可應(yīng)用于非成像光學(xué)。從而，我們需要考慮“能量相關(guān)的”物理量。如，輻照度。從光線光學(xué)來(lái)講，這種局部的能量物理量是與光線的密度和方向相關(guān)的。 g~`UC
K.1#cf
^' Fig.1通過(guò)一個(gè)透鏡系統(tǒng)的光路。在同樣的系統(tǒng)中[4]可以看到電場(chǎng)分量。 T3Tk:r
從光線到物理光學(xué) VpD9!;S
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^D10Nf* 直到現(xiàn)在，所有的效應(yīng)和量都能夠在幾何光學(xué)的框架中進(jìn)行表示。下一步中，我們探索在兩種介質(zhì)間界面的能量效應(yīng)，例如，一個(gè)透鏡的表面。眾所周知，在界面處，一部分光被反射回去因此會(huì)造成透射部分能量的損失。4%是空氣和玻璃介質(zhì)間透射能量損失的典型值。似乎我們可以直接將這個(gè)值對(duì)每條光線的作用考慮進(jìn)去，進(jìn)而減少在探測(cè)平面的探測(cè)能量。然而，在我們簡(jiǎn)單的將此損失包含在光線追跡中之前，我們應(yīng)該考慮其在光線光學(xué)，即費(fèi)馬原理中的正確性。在介質(zhì)間界面4%的能量損失符合費(fèi)馬原理嗎？答案是否定的，由于此原理僅處理光程，因此我們無(wú)法在光線光學(xué)的框架中找到這種表面效應(yīng)的合理解釋。在各種光學(xué)教科書(shū)中，你可以找到菲涅爾方程的推導(dǎo)，其給出了能量透射率T（透射比）和能量反射率R（反射比）的數(shù)學(xué)表達(dá)式[1]。此推導(dǎo)考慮的是理想電磁場(chǎng)平面波穿過(guò)兩種不同折射率介質(zhì)間的理想平面界面。這個(gè)結(jié)論使用了在平面界面處電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量是連續(xù)函數(shù)的事實(shí)。由此直接推導(dǎo)出菲涅爾方程。而理想平面波以及連續(xù)橫向場(chǎng)分量則來(lái)自于麥克斯韋方程組[2]。與完全基于費(fèi)馬原理的幾何光學(xué)相比，我們是基于麥克斯韋方程組來(lái)考慮物理光學(xué)的。因此，應(yīng)該依據(jù)物理光學(xué)來(lái)解釋在兩種介質(zhì)界面處光能量的損失，并將其附加到光線追跡路徑，已經(jīng)引出了一種聯(lián)合了光線和物理光學(xué)的算法。然而，當(dāng)將傳統(tǒng)的光線追跡強(qiáng)行的與一種基于物理光學(xué)的效應(yīng)，如表面處的菲涅爾效應(yīng)或者光線透過(guò)光柵的傳輸，聯(lián)合起來(lái)的時(shí)候，我們會(huì)面臨一個(gè)典型且嚴(yán)重的問(wèn)題。即，除了入射光角度很小的時(shí)候，菲涅爾效應(yīng)都是與局部偏振相關(guān)的。因此，為了精確地包含菲涅爾效應(yīng)，簡(jiǎn)單的光線不夠，我們還需要其偏振信息。讀者可能會(huì)問(wèn)道，那么光線追跡軟件是以什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)處理那些問(wèn)題。事實(shí)上是其不可能精確地處理光滑的或者光柵類型的表面效應(yīng)，并且也沒(méi)有包含偏振效應(yīng)的模型。 C:H9C 傳統(tǒng)光線追跡有許多限制，上文提到的僅是我們想要去克服的其中一種。我們所需要的是使用物理光學(xué)來(lái)表征光線。接下來(lái)我們會(huì)討論從以幾何光學(xué)為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)光線過(guò)渡到在物理光學(xué)框架中使用的智能光線。 NB LOcRSh <oO^ w&G 幾何場(chǎng)追跡 =0O`V Sb i8EMjLBUR Fig.2光線與光滑表面（左）、散射表面（中）和局部周期表面（右）的相互作用。使用局部平面波來(lái)表征光線。
?-Oy/Y K Fig.2演示了一束光線與曲面的相互作用。如果我們以電磁場(chǎng)平面波來(lái)解釋一束局部光線且將界面局部地作為平面，那么可以局部地應(yīng)用從物理光學(xué)所獲得的理想平面波與理想平面界面相互作用的結(jié)果[3]。因此，我們開(kāi)發(fā)出了一種用于這種局部電磁場(chǎng)平面波概念的算法，即幾何場(chǎng)追跡[4]。此理論來(lái)自于《光學(xué)原理》[5]第三章所提出的結(jié)論，并且我們已經(jīng)探討了在幾何場(chǎng)近似條件下使用幾何場(chǎng)追跡[4]來(lái)求解麥克斯韋方程組。對(duì)于局部平面波，使用這種近似的方法來(lái)求解麥克斯韋方程組，可以給出波前為主導(dǎo)的場(chǎng)的空間演化區(qū)域的精確解。相反，若一個(gè)場(chǎng)的尺寸沒(méi)有遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)，則其開(kāi)始受衍射主導(dǎo)且不能使用幾何場(chǎng)追跡來(lái)傳播該場(chǎng)，而需要使用一個(gè)衍射場(chǎng)追跡的方法來(lái)進(jìn)行傳播。換句話說(shuō)，一個(gè)場(chǎng)的散度可以用其波前的曲率（幾何場(chǎng)追跡）或者通過(guò)橫向和k空間維度間的不確定性原理的擴(kuò)展（衍射場(chǎng)追跡）來(lái)控制。空間中的任意場(chǎng)都有其衍射的和幾何的主導(dǎo)區(qū)域，對(duì)于不同的區(qū)域需要使用合適的建模技術(shù)。如Fig.3，對(duì)于傳播經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn)的球面波。我們想著重的強(qiáng)調(diào)的是，我們已經(jīng)應(yīng)用了能夠自動(dòng)測(cè)試幾何場(chǎng)近似有效性的算法以確保選取最合適的建模技術(shù)以用于傳播的各個(gè)區(qū)域。 Dd :Qotu
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rq+E"Uj ? Fig.3 透鏡系統(tǒng)出瞳處一個(gè)截錐球面波通過(guò)其焦點(diǎn)傳播的嚴(yán)格一維計(jì)算。下圖是上圖焦點(diǎn)區(qū)域的放大。球面波的f/#為20。盡管其是一個(gè)旁軸案例，但衍射主要在焦點(diǎn)區(qū)域。
\-c70v63X 在實(shí)際中通過(guò)追跡智能光線來(lái)實(shí)現(xiàn)幾何場(chǎng)追跡，當(dāng)在VirtualLab Fusion軟件中使用時(shí)，可以獲得以下特性： %e=BC^VW 智能光線知道其位置處的所有電磁場(chǎng)信息，三個(gè)電場(chǎng)分量和三個(gè)磁場(chǎng)分量的振幅，相位以及偏振信息。 z0doL b^! 智能光線知道并記住光源平面中附近光線的波前。這通過(guò)一種合適的光線索引概念（波前索引）來(lái)實(shí)現(xiàn)。這個(gè)方法聯(lián)合了不同的橫向插值技術(shù)以用于所用的場(chǎng)量并將這些場(chǎng)量分配到一條光線上去。插值技術(shù)包含了樣條曲線插值和質(zhì)心坐標(biāo)網(wǎng)格插值。 @ VVBl I 伴隨智能光線的還有另外一個(gè)索引概念（空間相干索引），其能夠給出智能光線間的相干模式和非相干模式以及其組合模式。這使得我們可以完成對(duì)部分相干光的建模。特殊的情況也被包含其中，如完全相干光和非相干光。 \V}?K0#bt 為了包含顏色，時(shí)間相干和超短脈沖，我們將頻率分配給智能光線，使用一個(gè)索引概念來(lái)分辨穩(wěn)態(tài)光和脈沖光的頻率分布（頻率索引）。 3>c<E1 通過(guò)追跡智能光線我們獲得麥克斯韋方程組幾何場(chǎng)近似的解[4]。因此，智能光線將傳統(tǒng)光線追跡推廣，并用一種科學(xué)地可靠的方式將其結(jié)合到物理光學(xué)建模中。實(shí)際上，至關(guān)重要的是幾何場(chǎng)追跡獲得電磁場(chǎng)結(jié)果和傳統(tǒng)光線追跡獲得的結(jié)果，如點(diǎn)列圖的速度是一樣快的。 td%EbxJK]` 高精度的模擬透鏡系統(tǒng)可以主要依據(jù)幾何場(chǎng)追跡，由于透鏡系統(tǒng)旨在傳輸球面波，因此幾何場(chǎng)追跡近似是有效的。如Fig.4所示。智能光線追跡提供了位于最后一個(gè)透鏡后的所有電磁場(chǎng)信息。然而，如前面所討論的（見(jiàn)Fig.3），位于焦面區(qū)域的場(chǎng)不滿足幾何場(chǎng)近似。因此，使用智能光線在最后一個(gè)透鏡后獲得的場(chǎng)必須使用衍射技術(shù)傳播到焦點(diǎn)。在標(biāo)準(zhǔn)的光線追跡軟件中，這樣的一個(gè)過(guò)程或多或少的依賴于軟件包中的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF）和調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）計(jì)算工具來(lái)精確地完成。場(chǎng)追跡為此以及其他類似的建模任務(wù)提供了一種快速和可靠的物理光學(xué)建模策略。 ^ WidA- mD=x3d Fig.4 上面一行顯示的是x方向偏振光經(jīng)過(guò)Fig.1中透鏡系統(tǒng)的最后一個(gè)透鏡后的電場(chǎng)分量E = (Ex,Ey,Ez)。結(jié)果包含了一個(gè)從x到y(tǒng)方向較弱的串?dāng)_和一個(gè)中等的z分量。此結(jié)果是通過(guò)幾何場(chǎng)追跡法在近1秒內(nèi)獲得的。下面一行是將上面所獲得的幾何場(chǎng)追跡結(jié)果衍射傳播到焦點(diǎn)所得到的結(jié)果。 S9U`-\L0
模擬散射，光柵以及衍射透鏡 /+iU1m'(
#r > 追跡通過(guò)兩種介質(zhì)間的界面的智能光線為幾何近似的有效性提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)。由于智能光線知道其臨近光線的波前，界面后光線的相交很容易地就被自動(dòng)探測(cè)到。相交光線表明波前被破壞了，因此幾何場(chǎng)近似不在有效（Fig.2，中圖）。很明顯地，當(dāng)光學(xué)表面不是光滑且僅小范圍的進(jìn)行調(diào)制則光線會(huì)相交，例如，帶劃痕的透鏡或者一個(gè)散射粗糙表面。此種情況下，光學(xué)界面后的光場(chǎng)需要一種衍射方法以用于繼續(xù)傳播。此時(shí)，我們完全得益于統(tǒng)一場(chǎng)追跡概念，其能夠讓我們結(jié)合不同的電磁場(chǎng)建模技術(shù)以用于系統(tǒng)不同的區(qū)域[6]。 {rf.sN~M 讓我們仔細(xì)的看一下一個(gè)散射表面后的衍射傳播技術(shù)。一般情況下我們可以使用傅里葉分析來(lái)將理想平面波分解以生成不同的傳播積分來(lái)探討這種情況。當(dāng)然，每個(gè)平面波可以通過(guò)幾何場(chǎng)追跡進(jìn)行進(jìn)一步傳播，通過(guò)一個(gè)物理光學(xué)理由和策略將一條輸入光線轉(zhuǎn)換成大量的輸出光線。如果我們假設(shè)光學(xué)界面至少是局部周期性的（Fig.2，右圖），例如，一個(gè)光柵或者衍射透鏡，依據(jù)光柵方程，那么僅在離散方向上才有平面波的傅里葉分析結(jié)果，如光柵級(jí)次。這就允許我們選擇那些感興趣的級(jí)次進(jìn)行使用，如一個(gè)衍射透鏡的第一級(jí)次。通過(guò)幾何場(chǎng)追跡，就構(gòu)建了一個(gè)光柵和衍射透鏡的物理光學(xué)建模的簡(jiǎn)單說(shuō)明：通過(guò)智能光線傳播場(chǎng)到光柵或者衍射透鏡，局部光柵效應(yīng)使用電磁場(chǎng)分析，例如通過(guò)傅里葉模態(tài)法（FMM）[7]，然后由此產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)的局部電磁場(chǎng)平面波通過(guò)智能光線追跡進(jìn)一步傳播。需要強(qiáng)調(diào)的是在模擬光柵和衍射透鏡時(shí)，與傳統(tǒng)光線光學(xué)的準(zhǔn)確結(jié)合是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，而是要求智能光線提供必要的場(chǎng)信息以處理局部光柵效應(yīng)。在VirtualLab Fusion中這項(xiàng)技術(shù)已經(jīng)得到了應(yīng)用，因此能夠使用它來(lái)設(shè)計(jì)衍射透鏡。然后，衍射透鏡的結(jié)構(gòu)可以以各種格式導(dǎo)出，如用于光刻的GDSII文件。Fig.5演示了一個(gè)用光柵將光耦合進(jìn)和耦合出一個(gè)波板以用于色彩混合。 K+2<{qwh Z!v)zH\ Fig.5 通過(guò)一個(gè)光柵將RGB光源的光耦合進(jìn)入一個(gè)波板，通過(guò)波板的全內(nèi)反射進(jìn)行傳播，并使用三個(gè)光柵將光耦合出波板以獲得一個(gè)部分重疊的混合色彩。本次模擬是通過(guò)FMM模擬光柵并使用幾何場(chǎng)追跡的方法來(lái)完成的。上圖顯示了光線傳播和幾何場(chǎng)追跡結(jié)果。 sO,,i]a0
干涉和相干建模 Xu2:yf4No*
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nj]l'~Y0 Fig.6 Mach-Zehnder干涉儀對(duì)于一個(gè)時(shí)間部分相干光源的干涉圖案。此建模是使用幾何場(chǎng)追跡完成的，在PC上對(duì)超過(guò)100個(gè)波長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，用時(shí)在1min以內(nèi)。
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!EB<e5}8wK Fig.7 對(duì)于一個(gè)不同厚度的薄膜，通過(guò)多重干涉所獲得的反射光的強(qiáng)度結(jié)果。使用光源為RGB白光。建模使用的是幾何場(chǎng)追跡，用時(shí)少于1min。
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. Frank Wyrowski是Jena的Friedrich Schiller大學(xué)的技術(shù)物理教授以及應(yīng)用計(jì)量物理組的負(fù)責(zé)人。在1999年他合作創(chuàng)辦了LightTrans公司，并于2014年聯(lián)合創(chuàng)辦了Wyrowski Photonics公司。他喜歡并致力于各種光學(xué)建模和設(shè)計(jì)任務(wù)，特別是物理光學(xué)領(lǐng)域。其研究成果源源不斷地為光學(xué)設(shè)計(jì)軟件VirtualLab Fusion的進(jìn)一步開(kāi)發(fā)做出貢獻(xiàn)。 ~XU% _Hz
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