運(yùn)用智能光線進(jìn)行物理光學(xué)建模 dL{zU4iUR
|#_IAN Frank Wyrowski and Christian Hellmann tYb8a
6<aZr\Ufg 光線光學(xué)早在2000年以前就已經(jīng)建立了光學(xué)建模和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。而在最近的數(shù)十年中，光線追跡軟件的出現(xiàn)為我們帶來(lái)了解決光學(xué)和光子學(xué)問(wèn)題的強(qiáng)大的光學(xué)設(shè)計(jì)技術(shù)。然而，隨著高級(jí)光源的開(kāi)發(fā)和應(yīng)用，微納結(jié)構(gòu)加工工藝的成熟以及各種應(yīng)用和光學(xué)相關(guān)功能的增強(qiáng)，光線光學(xué)的限制變得越來(lái)越明顯。因此，基于物理光學(xué)的光學(xué)建模技術(shù)變得必不可少，其也是未來(lái)光學(xué)設(shè)計(jì)軟件開(kāi)發(fā)中順理成章的一步。這就要求我們將光線追跡推廣并將其與衍射建模技術(shù)聯(lián)合起來(lái)。 B$ty`/{w,B |5J'`1W 在光線光學(xué)中，我們使用源于光源的光線來(lái)描述光。數(shù)學(xué)上，光線由位置和方向矢量來(lái)表示。光線傳播通過(guò)介質(zhì)，其光學(xué)“阻抗”通過(guò)折射率來(lái)描述。應(yīng)用此概念，通過(guò)改變光線在空間的方向和位置矢量以此來(lái)表述光的傳播。光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播，不同介質(zhì)間界面的折反定律和漸變折射率介質(zhì)中的光線方程，所有這些光線光學(xué)的基本定律都可以從費(fèi)馬定律中得出。簡(jiǎn)而言之，即光線沿所需最少時(shí)間的路徑傳播�；谫M(fèi)馬原理的光學(xué)建模構(gòu)建了光線光學(xué)，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，由于光線模型是一個(gè)幾何概念，因此費(fèi)馬原理同樣適用于幾何光學(xué)。 Uq Vc N$^b w=e_@^Fkx 光線追跡軟件為我們提供了用以光線光學(xué)建模的數(shù)值工具。通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的3D光路是一個(gè)典型的通過(guò)光線光學(xué)研究方法獲得的物理量。通過(guò)它，我們可以進(jìn)一步得出任意平面和表面處的點(diǎn)列圖，方向圖以及光程（Fig.1）。這為我們提供了特別是進(jìn)行透鏡系統(tǒng)分析和優(yōu)化所需的所有基本信息，其在光線追跡中大受歡迎。 rq#8}T> 光線追跡法同樣可應(yīng)用于非成像光學(xué)。從而，我們需要考慮“能量相關(guān)的”物理量。如，輻照度。從光線光學(xué)來(lái)講，這種局部的能量物理量是與光線的密度和方向相關(guān)的。 $y %X#:eLJ
Z8vMVo Fig.1通過(guò)一個(gè)透鏡系統(tǒng)的光路。在同樣的系統(tǒng)中[4]可以看到電場(chǎng)分量。 BhAWIH8@C
從光線到物理光學(xué) h?t#ABsVK
R#"LP7\ 直到現(xiàn)在，所有的效應(yīng)和量都能夠在幾何光學(xué)的框架中進(jìn)行表示。下一步中，我們探索在兩種介質(zhì)間界面的能量效應(yīng)，例如，一個(gè)透鏡的表面。眾所周知，在界面處，一部分光被反射回去因此會(huì)造成透射部分能量的損失。4%是空氣和玻璃介質(zhì)間透射能量損失的典型值。似乎我們可以直接將這個(gè)值對(duì)每條光線的作用考慮進(jìn)去，進(jìn)而減少在探測(cè)平面的探測(cè)能量。然而，在我們簡(jiǎn)單的將此損失包含在光線追跡中之前，我們應(yīng)該考慮其在光線光學(xué)，即費(fèi)馬原理中的正確性。在介質(zhì)間界面4%的能量損失符合費(fèi)馬原理嗎？答案是否定的，由于此原理僅處理光程，因此我們無(wú)法在光線光學(xué)的框架中找到這種表面效應(yīng)的合理解釋。在各種光學(xué)教科書(shū)中，你可以找到菲涅爾方程的推導(dǎo)，其給出了能量透射率T（透射比）和能量反射率R（反射比）的數(shù)學(xué)表達(dá)式[1]。此推導(dǎo)考慮的是理想電磁場(chǎng)平面波穿過(guò)兩種不同折射率介質(zhì)間的理想平面界面。這個(gè)結(jié)論使用了在平面界面處電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量是連續(xù)函數(shù)的事實(shí)。由此直接推導(dǎo)出菲涅爾方程。而理想平面波以及連續(xù)橫向場(chǎng)分量則來(lái)自于麥克斯韋方程組[2]。與完全基于費(fèi)馬原理的幾何光學(xué)相比，我們是基于麥克斯韋方程組來(lái)考慮物理光學(xué)的。因此，應(yīng)該依據(jù)物理光學(xué)來(lái)解釋在兩種介質(zhì)界面處光能量的損失，并將其附加到光線追跡路徑，已經(jīng)引出了一種聯(lián)合了光線和物理光學(xué)的算法。然而，當(dāng)將傳統(tǒng)的光線追跡強(qiáng)行的與一種基于物理光學(xué)的效應(yīng)，如表面處的菲涅爾效應(yīng)或者光線透過(guò)光柵的傳輸，聯(lián)合起來(lái)的時(shí)候，我們會(huì)面臨一個(gè)典型且嚴(yán)重的問(wèn)題。即，除了入射光角度很小的時(shí)候，菲涅爾效應(yīng)都是與局部偏振相關(guān)的。因此，為了精確地包含菲涅爾效應(yīng)，簡(jiǎn)單的光線不夠，我們還需要其偏振信息。讀者可能會(huì)問(wèn)道，那么光線追跡軟件是以什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)處理那些問(wèn)題。事實(shí)上是其不可能精確地處理光滑的或者光柵類(lèi)型的表面效應(yīng)，并且也沒(méi)有包含偏振效應(yīng)的模型。 h"C7l#u 傳統(tǒng)光線追跡有許多限制，上文提到的僅是我們想要去克服的其中一種。我們所需要的是使用物理光學(xué)來(lái)表征光線。接下來(lái)我們會(huì)討論從以幾何光學(xué)為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)光線過(guò)渡到在物理光學(xué)框架中使用的智能光線。 ~H<oqk:O- =*paa 幾何場(chǎng)追跡 d7, ZpHt ^a>3U l{ Fig.2光線與光滑表面（左）、散射表面（中）和局部周期表面（右）的相互作用。使用局部平面波來(lái)表征光線。
?E>(zV1D/ Fig.2演示了一束光線與曲面的相互作用。如果我們以電磁場(chǎng)平面波來(lái)解釋一束局部光線且將界面局部地作為平面，那么可以局部地應(yīng)用從物理光學(xué)所獲得的理想平面波與理想平面界面相互作用的結(jié)果[3]。因此，我們開(kāi)發(fā)出了一種用于這種局部電磁場(chǎng)平面波概念的算法，即幾何場(chǎng)追跡[4]。此理論來(lái)自于《光學(xué)原理》[5]第三章所提出的結(jié)論，并且我們已經(jīng)探討了在幾何場(chǎng)近似條件下使用幾何場(chǎng)追跡[4]來(lái)求解麥克斯韋方程組。對(duì)于局部平面波，使用這種近似的方法來(lái)求解麥克斯韋方程組，可以給出波前為主導(dǎo)的場(chǎng)的空間演化區(qū)域的精確解。相反，若一個(gè)場(chǎng)的尺寸沒(méi)有遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)，則其開(kāi)始受衍射主導(dǎo)且不能使用幾何場(chǎng)追跡來(lái)傳播該場(chǎng)，而需要使用一個(gè)衍射場(chǎng)追跡的方法來(lái)進(jìn)行傳播。換句話說(shuō)，一個(gè)場(chǎng)的散度可以用其波前的曲率（幾何場(chǎng)追跡）或者通過(guò)橫向和k空間維度間的不確定性原理的擴(kuò)展（衍射場(chǎng)追跡）來(lái)控制。空間中的任意場(chǎng)都有其衍射的和幾何的主導(dǎo)區(qū)域，對(duì)于不同的區(qū)域需要使用合適的建模技術(shù)。如Fig.3，對(duì)于傳播經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn)的球面波。我們想著重的強(qiáng)調(diào)的是，我們已經(jīng)應(yīng)用了能夠自動(dòng)測(cè)試幾何場(chǎng)近似有效性的算法以確保選取最合適的建模技術(shù)以用于傳播的各個(gè)區(qū)域。 V$ 8go#5
`.oWmBey\ >z{*>i,m1 Fig.3 透鏡系統(tǒng)出瞳處一個(gè)截錐球面波通過(guò)其焦點(diǎn)傳播的嚴(yán)格一維計(jì)算。下圖是上圖焦點(diǎn)區(qū)域的放大。球面波的f/#為20。盡管其是一個(gè)旁軸案例，但衍射主要在焦點(diǎn)區(qū)域。
=7 ^rKrD 在實(shí)際中通過(guò)追跡智能光線來(lái)實(shí)現(xiàn)幾何場(chǎng)追跡，當(dāng)在VirtualLab Fusion軟件中使用時(shí)，可以獲得以下特性： +/ "Ws '5E 智能光線知道其位置處的所有電磁場(chǎng)信息，三個(gè)電場(chǎng)分量和三個(gè)磁場(chǎng)分量的振幅，相位以及偏振信息。 TRLz> m
