非序列光場追跡

文獻作者：Michael Kuhn, Frank Wyrowski, and Christian Hellmann

文獻來源： Non-sequential Optical Field Tracing. Advanced Finite Element Methods and Applications. Springer Berlin Heidelberg, 2013:257-273.

摘要

通過考慮諧波場而非光線，光場追跡法對光線追跡法進行了概括推廣。光場追跡法可以容許位于系統(tǒng)不同子區(qū)域的不同的建模技術進行無縫連接�；�于分解和互聯(lián)的理念，這篇文章介紹了非序列場追跡的基本概念，同時推導出了相應的算子方程組和一個求解公式用于仿真。對問題的求值需要局部麥克斯方程的解（分解）；并且隨著迭代過程的收斂實現(xiàn)解決方案在通過界面處的連續(xù)性（互聯(lián)）。通過使用引入的一種新的光路樹算法，對需要求解的局部問題的數(shù)量進行優(yōu)化。最后，我們展示了一些選擇局部麥克斯韋方程組的案例和數(shù)值結果。

1. 簡介

現(xiàn)代光學系統(tǒng)設計需要高級模擬技術。通常，仿真過程中需要在時域或者頻域中求解麥克斯韋方程組。即使這些方程的解決方案已經(jīng)在過去數(shù)十年被廣泛的討論，使用比如有限元法（FEM），但由于以下主要原因，其在光學領域仍然非常具有挑戰(zhàn)性：（1）感興趣的波長一般在1微米以下，有時甚至在100納米之下，（2）一個系統(tǒng)中的長度量級可能在納米和米之間變化。應用波長532納米（綠光）的標準激光系統(tǒng)，使用特征尺寸僅有幾微米的結構界面并且需要在一個系統(tǒng)中與數(shù)厘米或者米的結構一同模擬。這表明物理光學模擬，例如，使用標準的有限元法，如今在標準計算機上并不可行。

另一方面，大部分光學系統(tǒng)可以通過使用近似的方法，實現(xiàn)足夠精確的模擬。尤其是光線追跡方法在光學模擬中得到了廣泛的使用。幾款基于光線追跡方法的商業(yè)工具在二十世紀八十年代隨著個人電腦技術的新興便已確立。然而，光線追跡方法有一些嚴重的限制，例如，當系統(tǒng)中存在微結構時，其便會失效。

這就是我們引入場追跡的原因[6,12]。場追跡將一個光學系統(tǒng)分解成子域。與光線追跡相比，場追跡是計算通過系統(tǒng)的電磁諧波場。在實際應用中，此方法具有三個基本的優(yōu)勢：（1）場追跡法統(tǒng)一光學建模。其概念允許我們在系統(tǒng)的不同子域中應用任何表述矢量諧波場的技術。（2）應用矢量諧波場作為場追跡的基礎，為光源建模提供了極大的便利性。通過讓諧波場集在系統(tǒng)中傳輸，可以研究部分時間和空間相干光源以及超短脈沖[9]。（3）在系統(tǒng)建模和設計中，探測器函數(shù)的任意類型評價非常重要。使用矢量表述諧波場，能夠自由的獲取所有的場參數(shù)，因此能夠引入和評估任意類型的探測器。在場追跡中，通過求解局部麥克斯韋問題以計算各子域。這些局部問題具有這樣的屬性：能夠在所有容許函數(shù)的子空間中產生解。此外，近似的麥克斯韋求解器足夠精確且比嚴格的麥克斯韋求解器更高效。從這個意義上來說，我們調整了“域分解以及分解和互聯(lián)”方法的主要理論，而這些方法已經(jīng)被使用在許多應用中，參考引用文獻[3]和[4]。場追跡的目標是通過聯(lián)合不同的子域求解器，在保證計算精度的情況下，盡可能快的構筑出一個針對問題的求解器。通過施加連續(xù)條件，將局部解進行耦合以求解全局問題。為了這個目的，我們希望將那些在光學中已經(jīng)完善建立的追跡技術普遍化。文獻[12]著重介紹了序列情況。此處我們希望將此理論擴展到非序列情況中并增加更多的描述求解器的算法模塊。這篇文章展示了如何進行將分解和互聯(lián)進行應用。

這篇文章結構如下。在第二部分，我們討論了局部麥克斯韋求解器的定義。我們描述了如何使用分解和互聯(lián)的方法來闡述3D麥克斯韋問題�；�于諾依曼級數(shù)推導出來的使用局部算子的解公式導致一個無窮求和。通過使用一個修訂的公式，可以將求和作為一個迭代過程進行重構，這個公式將在第三部分討論。算法本身可以歸結為一個光路邏輯樹。應用場追跡方法求解局部問題將在第四部分討論。最后，我們將在第五部分呈現(xiàn)數(shù)值結果并在第六部分進行總結。

2.分解和互聯(lián)方法

光學系統(tǒng)建模主要是求解麥克斯韋方程組以在R³中獲得電場E和磁場H。麥克斯韋方程組的頻域表示如下

對于線性物質方程和各向同性介質。系統(tǒng)的折射率n ̂(r)是非均勻的，并且定義如下：

，其中r=(x,y,z)。各頻譜w的解是一個電磁諧波場，它是由三個電場分量和三個磁場分量決定的。在光學系統(tǒng)建模中，求解系統(tǒng)域Ω中所有場的分量是一個最普遍待解決的任務。

為了簡化符號我們使用場矢量V來概述六個場方向：

由麥克斯韋方程來看，很明顯六個場方向并不是獨立的。尤其是我們總是可以從電場矢量計算出磁場。然而我們使用場矢量V是為了強調模擬中必須包含了六個場分量，這為我們定義探測器提供了最大的靈活性，能夠方便的讓我們進行光場性能評估。例如，在能量考慮方面，坡印廷矢量是非常實用的。其定義結合了磁場和電場。

圖1闡述了所關心的建模情景。系統(tǒng)位于域Ω⊂R³中。J 個子域Ωj都處在折射率n ̂(r)中，其中r=(x,y,z)是非均勻的。我們使用Γj來表示各子域Ωj的邊界。

圖1.形式上一個系統(tǒng)被分成J個子域Ωj。所有的子域都處在一個折射率為n的均勻和各項同性介質中。子域的邊界用Γj表示。

從實際的角度來看，子域與系統(tǒng)的元件緊密相關，但對于接下來要討論的內容來說那并不重要。特別是其有利于將一個元件分解成多個子域。此外，有時候這有利于在系統(tǒng)的均質區(qū)域定義一個子域。根據(jù)建模技術的規(guī)格，可以在一定程度上自由地選擇子域的形狀和尺寸。所有的子域都處在折射率為n的均勻電介質中。

為了獲得一個公式以模擬整個系統(tǒng)，我們應用了一些分解和互聯(lián)的方法。首先我們?yōu)槊總�子域Ωj定義了散射問題。然后我們確定方程以將局部散射問題的解進行互聯(lián)。最終，全局問題由一個均衡方程描述以確保場的連續(xù)性。

為了定義局部散射問題，我們將邊界Γj處的光場表示為

此外，我們使用來定義作用于子域Ωj的輸入光場，使用來定義對應的輸出光場。通過算符 散射問題的解定義了輸入場到輸出場的映射

互聯(lián)問題描述了在均質中一個輸入場和一個輸出場中任意一對（，）之間的關系。為此我們引入了算子，將輸出場子域ⅈ映射到輸入場子域j，其中ⅈ≠j：

圖2.場追跡經(jīng)過邊界Γj（左邊）的兩個平面部分之間的一個子域和場追跡在兩個子域（右邊）的平面邊界部分間的傳播的應用示意圖。

以前計算需要求解一個麥克斯韋問題，但是現(xiàn)在在均勻介質R³的半空間（與Γj相關）且在邊界Γj處的入射場為時，在邊界Γi處所求得的解僅產生。

最后，我們必須確保光場的連續(xù)性。由此引出處理所有子域間的多次作用問題的均衡方程。在Γj處的輸出場必須滿足方程

可選的光源場會作用于子域j的輸出場，并因此和包含所有其他子域貢獻的和相加。根據(jù)（10）我們推導出一系列J 方程以用于計算未知的，其中j=1，…,J。

下一步我們推導方程（10）的矩陣公式。為此，我們定義以下的矢量和矩陣：

I是恒等算子的對角矩陣。因為我們不考慮子域輸出場到其自身輸入場的映射，因此P的對角元素總是0�；�于此定義我們重寫了方程（10），其形式如下

其將產生

如果下列條件

滿足的話，則方程（17）可以很好的被定義并使用諾曼級數(shù)[7]來進行求解

對廣泛的應用來說，條件（18）是成立的。在介質中、外部邊界處（無限）或者與探測器相連的邊界處的任意吸收過程都會導致||CP||<1，因為||C||≤1且||P||≤1。然而，對于沒有任何損耗的腔體，||CP||=1，因此，諾曼級數(shù)不會收斂。在這種情況下，分解和互聯(lián)方法必須在一個本征求解器中使用。

(19）中的級數(shù)極限是光學仿真問題的解。一個合適的截斷可以用于近似解。很明顯，連續(xù)的被加數(shù)可以通過一個更新后的公式進行計算。這種方法會導致一個所謂的光路樹算法，我們將在下一部分討論。為了進行求和計算，必須求解局部麥克斯韋問題以評估算子C和P。只要使用場矢量V的耦合確定了，任意嚴格或是近似的求解器的都能使用。這種方法稱之為場追跡，我們將在第四部分進行討論。

3. 光路樹

此部分我們將討論如何有效地對方程（19）進行求解。為了避免重復相同的操作，我們將使用更新的公式。通過對無窮和進行截至，我們定義了一個迭代過程。第k次迭代的定義為

我們引入了一個輔助變量 。然后，通過定義初始條件

我們獲得了如下的更新公式

給予一個閾值δ，一個合適的終止判據(jù)可由此定義

其中rk是更新的的相對功率：

即使，為了求解矢量，我們已經(jīng)定義了一個迭代過程。在每一步迭代中，我們必須求解多組局部麥克斯韋問題：一種是對每個子域Ωj（應用算子C）；一種是對任意子域Ωi和Ωj（應用算子P）之間的每個自由空間區(qū)域。如果(18)成立，則結果將會收斂。我們將在第5部分給出了使用終止判據(jù)（25）獲得的收斂結果。

事實證明更新公式（23）需要進行進一步的討論。對某一行j 進行矩陣符號擴展，可以給出求和形式

每個被加項都代表一個諧波場。為了利用那些勇于有效的構建子域求解器的場的局部特性，可取的的方法是不進行求和計算，而是在后續(xù)進行計算中操作單項被加數(shù)。

上述情況促使我們開發(fā)了光路樹。這個算法能夠考慮迭代矢量的稀疏性。這種稀疏性常見于光學模擬。實際上，這似乎有以下原因：（1）只有單個光源存在，（2）光沿一個路徑傳播通過元件（例如，在顯微鏡中經(jīng)過一系列透鏡），（3）僅僅在表示探測器的一個（或者一些）平面上計算結果（例如，一個相機）。在[12]中已經(jīng)討論了序列場追跡（其中命名為“對流單鄰近似”），對一個包含初始（光源）到終止（探測器）光路系統(tǒng)，它生成一個非零輸入的。這里，我們將這種方法推廣到一般情況，我們也稱之為非序列場追跡。

舉一個簡單的例子，我們來討論光路樹的結構，這個例子是一個包含了一個光源、兩個平板和一個用于計算光場的探測器的光學系統(tǒng)。裝置如圖3所示。

圖3.包含一個光源，兩個平板和一個探測器的光學系統(tǒng)的例子。箭頭表示的是求和中的單個被加項，級次代表了計算截斷求和的迭代步數(shù)。

圖3中，箭頭表示光場在兩個平板之間的傳輸。虛線箭頭表示此傳輸對最終場沒有貢獻，即，可以將其忽略。此外，箭頭按級次1至5進行排序。級次指數(shù)代表

了迭代數(shù)k。由于實際原因，我們?yōu)槊總�平板都引入了一個正面和背面。對如3中所描述的系統(tǒng)。對應的光路樹如圖4中所示。樹的節(jié)點與任意矢量的一個輸入（被加項）或者與在Γj處的解相聯(lián)系。節(jié)點之間的聯(lián)系與算子或者有關。不失一般性，我們假設僅對一個指數(shù)j成立。因此，樹僅有一個根節(jié)點。

忽略虛線鏈接，光路樹對于計算截斷總和是最合適的（20），因為其僅僅包含了那些必須的算符而相同的算符（求解相同的麥克斯韋問題兩次）不會出現(xiàn)。

最后我們將討論一個用于生自動生成光路樹的算法。特別是我們想基于光線追跡近似使用試驗光線來檢測稀疏性。首先，我們引入一個數(shù)據(jù)集以來描述試驗光線：

現(xiàn)在，對于試驗光線，我們定義兩類算子：（i） -對于在Γj上給定的試驗光線，計算試驗光線上域Ωj的效應。（ii） -對于在Γ_i上給定的試驗光線，計算在Γi和Γj之間的自由空間的效應。

圖4.光路樹用于兩個平板的示例，其截斷總和在k=5。

此外，我們可以通過對試驗光線使用強度規(guī)則來控制終止時機。為此，我們將光源的強度初始化為1。算子和在處理強度時考慮了吸收效應、界面處的菲涅爾效應以及其他效應。對于一個給定的光源，我們定義樹的根節(jié)點n^0并且指定初始試驗光線強度為1。對于初始列表和一系列節(jié)點，用來構建樹的算法AddNodes被遞歸調用。

再次說明，條件（18）保證了樹生成算法的終止。

4.場追跡方法

在前面的部分我們已經(jīng)描述了用于求解光學仿真任務的基于分解和互聯(lián)技術的算法。已經(jīng)表明，此算法需要兩類算子。算子用于描述任意散射體間的自由空間傳輸，算子描述光學元件的散射效應。對于這些算子，仍然需要定義顯式的公式。那么問題來了，和 是否必須是嚴格的麥克斯韋方程求解器。如果是，此方法將會被限制在那些已知的物理光學上，包括最主流的如有限和邊界元法，有限差分和有限積分技術。然而，經(jīng)典光學建模和設計到現(xiàn)在已經(jīng)使用時數(shù)十年了，從中我的知道，幾何光學方法和其他的近似方法是及其強大的技術，能夠描述自由空間傳輸和各種重要的光學元件對諧波場的效應。由于光學系統(tǒng)的設計可以看做在特定條件下求解局部麥克斯韋問題，因此那些近似通常是有效的。對于此約束，一個經(jīng)典的例子是在經(jīng)典激光系統(tǒng)中發(fā)生的局部傍軸場。因此，實際經(jīng)驗非常鼓勵我們使用不同的嚴格和近似局部麥克斯韋求解器以求解算子 和 。用于一個系統(tǒng)子域的任何合適的建模技術都必須對電磁諧波場公式化。在此必須強調是，在過去這種方法并未在光學建模中成為標準。因此系統(tǒng)建模不是基于一種建模技術，而是多種建模技術的平滑結合，同時每個子域足夠精確。這就是我們所說的統(tǒng)一化光學建模。在此方法中，根據(jù)之前給出的方程，諧波場以不同的算子和的形式被追跡通過系統(tǒng)。我們把這種方法稱為場追跡，它是對光線追跡的自然推廣，其中光線追跡是通過幾何光學，追跡通過一個系統(tǒng)所有子域的光線束�？傊�，分解和互聯(lián)算法，結合在不同的子域中針對和進行的諧波場技術的適當選擇，實現(xiàn)了場追跡法統(tǒng)一化光學建模。在光學系統(tǒng)的建模中，生成的非序列場追跡概念是對非序列光線追跡本質的推廣。

對于算子 和 ，已經(jīng)在[12]中提出了一些可能的選擇。其中，推導了幾個自由空間算子并討論了他們的近似特性。算子的一個嚴格版本可以從z=0處一個諧波場的平面波分解直接推導而來。這個分解過程可以描述為，將諧波場的任意分量傅里葉變換至k空間[1]：

其中k=(kx,ky )，ρ=(x,y)且l=1,…,6。其逆變換如下：

對于平面波算子的推導，我們使用如下的事實，即每個平面波的傳輸通過乘以相位項 [2,5]進行描述。方向分量kz表示如下

算子定義如下

平面波角譜(SPW)算子沒有引入物理近似。讓我們來討論其數(shù)值特性。光場分量的帶寬在傳輸過程中是一個不變量。這可以從嚴格SPW算子（29）中推導出來。頻譜乘以相位因子exp⁡[ⅈkz]。這一步并不改變頻譜的范圍，也就是光場的帶寬�；�于采樣原理[1]，一個不變的帶寬可以直接得出結論，即場的（最大）采樣周期在傳輸中也是一個不變量。為了將（31）應用到一個采樣場，需要兩個離散傅里葉變換。對于采樣點數(shù)N ，其數(shù)值計算量是接近最優(yōu)的（O（NlogN））。采樣點數(shù)是基于采樣周期（傳輸過程中不變）以及輸入和輸出之間最大的場尺寸來定義的。因此，如果傳輸過程中場尺寸不明顯變化的話，SPW算子會有一個接近最優(yōu)的數(shù)值計算量。這種情況適用于小角度的傍軸場。然而，對于非傍軸場，用來評估結果的數(shù)值計算量變得不現(xiàn)實。在這種情況下，場尺寸在傳輸后可能比z=0處的場大的多。這就是為什么在可能的情況下必須使用相應的近似算子，，如適合于傍軸情況的菲涅爾算子或者適合于遠場情況遠場算子。在[12]中，已經(jīng)顯示了如何設計一個選擇合適算子的自動程序以產生一個自動選擇的自由空間傳播算子。也可以使用快速邊界元方法來替代。

對于分量傳輸算子，幾何光學方法被廣泛的使用。關于他們的討論，也可在[12]中發(fā)現(xiàn)。有限元微分法也可用于。為了理解有限元微分法，[8]中討論了散射問題的公式化。讓我們來簡短的討論一下效率問題。在場追跡的框架中，對一個子域生成的有限元系統(tǒng)，整個迭代過程保持不變。迭代進入邊界條件，即，僅在方程的右邊。在場追跡中迭代過程僅處理一次，而對于不同的右邊部分，同樣的系統(tǒng)需要進行多次求解。即，由于計算起來困難的矩陣分解可以被重復使用，因此使用直接求解器以求解有限元系統(tǒng)這種做法會非常高效。

讓我們在這里討論一個關于算子的特殊情況，即算子用于一個平面界面元件。我們考慮一個平面邊界介于兩種真實折射率為n_i和n_t的均勻介質間，它位于在z=0處。我們假設邊界垂直于z軸。平面波在xz平面內傳輸，并假設以角度θ_i，從折射率為n_i的材料中入射。由于邊界是無窮的，在xz平面內傳輸?shù)膯我环瓷浜蛦我煌干涫峭ㄟ^相互作用產生的。波沿由角度θi和θt定義的方向傳播。

在準二維幾何中，麥克斯韋方程組被分成可分別求解的兩組。一組中僅包含y方向的電場（以及x方向和z方向的磁場），這一組討論的是TE偏振。另外一組僅包含了y方向的磁場以及x和z方向的電場，然后這一組討論的是TM偏振。兩種偏振情況都能給出邊界條件的一個直接評估�？傊�，例如，TE偏振以及通過來表示入射光的復振幅，這個波可以使用如下形式來表示

同理，振幅為的反射光可以寫為如下形式

我們已經(jīng)注意到，光在入射介質中會反向傳輸。最后，復振幅為 的透射光的表達式如下

接下來使用的連續(xù)條件，從而獲得的決定反射和透射平面波自由參數(shù)的方程。在(x,z)=(0，0)處使用連續(xù)條件，推導出 θi，θr和θt之間的三個方程，從中我們可以直接獲得反射定律

以及斯涅爾折射定律

其中定義了角度θt。此外，對于反射和折射場振幅，我們可以獲得以下關系式

以及

上述公式即是TE偏振光的菲涅爾方程。

在此處給出的兩個算子，用于下一部分中作為模型問題來討論的平面界面問題。下一部分，我們將假設有一個傍軸設置，即θi=0。

5.數(shù)值案例

在實際中，非序列場追跡算法的性能可以使用一個Fabry-Perot干涉儀系統(tǒng)來進行驗證。特別是我們考慮一系列平行平板，如圖5所示。我們再次引入了分解：一個平板分成兩個邊界。然后我們在均勻介質中（空氣或者平板介質）應用平面波角譜算子并在每個邊界使用（37）-（38）中的散射算子。

圖5.多平板實驗裝置。我們認為平板間的介質為空氣（n=1），平板具的折射率n是一個變量。

平板放置在空氣中，空氣折射率n=1.0027。在這個實驗中，我們改變平板的折射率、平板數(shù)目以及平板厚度。平板的距離（如果超過一個）是5mm。我們使用了一個直徑為幾毫米的平面光源。實驗中波長是變化的。不考慮吸收。

在第一個實驗系列中，我們研究了算法的收斂性。為此，我們使用了試驗光線算法，并觀察了rk的收斂性（見（25））。結果見圖6。

圖6.不同設置的收斂結果：2個平板，折射率n=1.5（左圖），2個平板，折射率n=3.0（中圖）以及4個平板，折射率n=1.5（右圖）。

我們考慮了兩個平板（4個邊界），其中n=1.5；兩個平板（4個邊界），其中n=3.0以及四個平板（8個邊界），其中n=1.5。為了將誤差降低到0.01，所需的迭代數(shù)分別為8（2個平板，n=1.5），13（2個平板，n=3）以及17（4個平板，n=1.5）。在第二個實驗系列中，我們針對一些入射場使用了非序列場追跡算法，見圖7。我們計算了不同裝置的透射率。為了評價新的方法，我們使用一個嚴格的傅里葉模態(tài)法（FMM）[10]，將兩者的結果進行了對比。這種方法考慮的是周期性系統(tǒng)，并計算了一個無窮入射平面波的效率。FMM算法非常成熟，我們希望兩種方法所計算出來的結果能夠高度一致。

圖7.左圖，入射平面波（5mm直徑）的振幅。右圖，波長在400nm（n=1.4705）到600nm（n=1.4584）范圍之間變化時Fused Silica的折射率。

在實驗中我們也考慮了色散效應。當材料的折射率與波長相關時，即會產生這些效應。為此，我們使用Fused Silica作為平板材料。折射率如圖7所示。我們再次改變一些系統(tǒng)的參數(shù)，考慮單個平板（2個邊界）。在第一個系列中，我們將厚度作為變量，變化范圍從1um到2um。

結果如表1所示。正如期望一樣，在所有的值之間可以看到一個非常好的吻合。

6. 結論

我們展示了可用于光學仿真問題高效解答的光場追跡技術。由此生成的算法能夠結合那些包含嚴格和近似方法的局部麥克斯韋求解器。在光學中，局部問題通常表現(xiàn)良好且局部求解器可以適應于局部特征以加快計算速度。進一步的實驗檢測并將這些局部特征進行分類。這些信息可以用于設計合適的局部求解器。此文章中所呈現(xiàn)的解算法可以很容易的并行運行。特別是一個樹級次的所有局部求解器可以在一個分布計算環(huán)境下進行并行運行。然后，實現(xiàn)交流僅需要完成與子域邊界相關的場數(shù)據(jù)的交換。盡管是為了將諧波場傳播通過光學系統(tǒng)我們將場追跡公式化，但它也可以被用于一般場，如靜態(tài)和脈沖光[9,11]。為此，一般場可以分解為一系列諧波場模式這些模式可以被追跡通過系統(tǒng)并使用合適的探測器進行評估。

致謝：此處為Ulrich Langer學生，M.Kuhn博士的個人致謝。我總是樂于成為Ulrich Langer的學生和同事。我想要感謝他非凡的教育。Ulrich在表述科學問題方面具有卓越的能力，具有很強的實踐意義。他鼓勵我在麥克斯韋問題這個領域工作。最終，這引領我成為極具創(chuàng)新的光學仿真工具VirtualLab[6]軟件優(yōu)秀開發(fā)團隊的一員。我希望將此文章獻給Ulrich。最后，他的前提“給需要解決的問題設置一個數(shù)學公式！”是這篇文章中所給出的結果的起點。最后但同樣重要的是，沒有我的合作作者以及LightTrans的同事，這篇文章是不可能完成的。