在
系統(tǒng)的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的
物理光學(xué)建模中的頻繁操作。我們介紹一個(gè)場所謂的幾何區(qū)域，在該區(qū)域中傅里葉變換可以在不進(jìn)行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數(shù)值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩(wěn)定相位的概念應(yīng)用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項(xiàng)技術(shù)被證明是快速物理光學(xué)的基礎(chǔ)支柱。
nJny9g P@:#NU[ 1.光學(xué)傅立葉變換
wHk4BWg- F8?&Ql/hdz 在物理光學(xué)中，我們處理電磁場的六個(gè)復(fù)數(shù)場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
Re('7m h~ S=^yJ6 xJ 
FfN==2:b 3 4
W# 其中
，傅立葉變換到k域定義為
!'Xk= + 
（2）
YMwM aU)K, 其中，我們使用符號
Dg/&m*Yl .e5GJAW~9 
(3)
I+w 3It _/ZIDIn 方程2中積分的數(shù)值評估需要對a和k域中的場進(jìn)行取樣，我們用N表示采樣點(diǎn)的數(shù)量，所得的離散傅里葉變換構(gòu)成了N2運(yùn)算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在
原理上使快速物理光學(xué)建模成為可能，但FFT需要
的采樣。在光學(xué)中，我們通常有強(qiáng)梯度的相位函數(shù)，從而導(dǎo)致很大的N值，只有在十分對稱的
光學(xué)系統(tǒng)中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學(xué)上遇到N太大而不能進(jìn)行快速計(jì)算傅里葉變換的問題，這是快速物理光學(xué)概念的嚴(yán)重阻礙。
n 8Jx;j A?q[C4-BO, 為了進(jìn)一步研究，我們用波前相位Ψ將
分解（跳過ω）為
/] ce?PPC Qv,|* bf 
(4)
B=#rp *vwL Y4}!9x 對于所有分量都是一樣的。 顯然，方程 4中的分解是模糊的，其依賴于從源場出發(fā)建模中恰當(dāng)?shù)南辔惶幚矸绞�。由定義
得分解結(jié)果
)h,+>U@ @#1k+tSA, 
(5)
q(e&{pbM) @D-l_[ 類似地，我們可以得到
&}VGC=F;d bV&/)eqv 
(6)
m,$oV?y>j zWgNDYT~ 其中波前相位
在k域上。應(yīng)該提到的是，根據(jù)方程 5與 在幾何光學(xué)上是已知的，然后
，S為光程函數(shù)。我們想強(qiáng)調(diào)的是，方程 5的分解在物理光學(xué)中是更一般和純粹的數(shù)學(xué)方法，我們的目標(biāo)可以表述如下：我們對不通過采樣波前相位因素來進(jìn)行傅里葉變換的技術(shù)十分感興趣，此時(shí)Ψ和
是可通過半解析傅里葉變換實(shí)現(xiàn)的二次多項(xiàng)式的形式[1]。這里我們想討論一個(gè)概念，適用于一般的波前相位，但在強(qiáng)波前相位近似，它使用穩(wěn)定相位的概念。
,IxAt&kN -* k%'Gr 2 幾何傅里葉變換理論
(1%u`#5n-N 穩(wěn)定相方法的應(yīng)用在光學(xué)中是眾所周知的，例如，用于討論[2]中的
衍射積分。我們將其用于快速計(jì)算方程2的傅里葉變換積分。為此，我們假設(shè)除臨界點(diǎn)附近以外
在通過z的平面內(nèi)具有比U（ρ，z）高得多的空間頻率。 根據(jù)穩(wěn)定相位的概念，直接導(dǎo)致基本方程（跳過z )
,:G.V m;lwMrY\7> 
(7)
7NRq5d(lP :#"gQ^YNp 其中
方程7表示k和p之間的映射，我們假設(shè)這個(gè)映射是開放、雙射和連續(xù)的，這意味著它構(gòu)成了一個(gè)同胚，這是波前相位 平滑的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并確保k域中的結(jié)果場可以在非等距網(wǎng)格上插值。在光學(xué)中，當(dāng)場不在苛性區(qū)時(shí)，通常滿足這種條件，穩(wěn)定相位的概念也揭示出來
V{@<Z8s W# 
(8)
s%>>E!Qi_ 由φ(p)的勒讓變換
oA}&o_Q% Z&@X4X"q 
(9)
x:O?Fj ]]Ypi=<' 復(fù)函數(shù)
[ECSJc &i R:x4j #( 
(10)
tfvX0J zFqH)/ 權(quán)重因子
取決于φ(p)的二階導(dǎo)數(shù)，該結(jié)果通過將空間域中的場值映射到具有附加權(quán)重因子的k域來表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴于波前相位。因此，傅里葉變換主要執(zhí)行場分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
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