我們提出了一種處理傅里葉變換的方法,其并不需要二次多項式相位項的抽樣,而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
|qE"60&"} xC9^x7%3O 1.簡介
A=o
p R gEcVQPD@ 物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域,反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以,快速傅里葉變換(FFT)算法成了快速
物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數(shù)值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數(shù)量近似成線性關系。在光學中,我們經(jīng)常處理有強波陣面相位的場分量,例如:球形。但是由于2π模,平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數(shù)值計算工作,甚至在FFT中也是如此。
i%GjtYjS :+|b7fF 2.理論
43W>4fsc 2.1 場的表征:提取二次相位
?"$W=*P\o ?C(Z\"IX 我們從空間域的符號開始,在本文中我們使用符號
對應6個場分量,也就是V = (E, H):
{6!Mf+Xq \7nlwFAO Ka1
F7b (1)
i,NN" 在公式1中,我們假設場
有兩部分:
衍射場
和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果,我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場
。假設exp(iψ(ρ))可由其實數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出:
@#c(4}^ <w KFor~A# D (2)
顯然,在強二次相位情況中,全場
比余項場需要更多的抽樣量。所以,我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下,計算V(ρ)的傅里葉變換。
D9B?9Qt2[ [R)?93 2.2.半解析傅里葉變換
c2Ua!p(c T
{a%:=` 從卷積定理可知:
c|x:]W'ij E1_FK1*V; (3)
6|r`
k75. 通常來說,項
必須進行數(shù)值計算處理。另一方面,從數(shù)學
角度[2]我們可知:
Xw!eB?A DZ?>9W{ (4)
;TD<\1HJT= 適用于任何復
,只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
[-bL>8 在該數(shù)學工具的幫助下,項κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導出來:
6*Qn9Q%p- (5)
其中:
1!/cd;{B (6)
其中常數(shù)項
。
'D#}ce)s# 將公式5帶入公式3,通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次,我們發(fā)現(xiàn)
可以表示為:
y4$UPLm (7)
其中:
WM}:%T- (8)
這里,
和坐標項
。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學表達式。它表示全場的FFT可被兩個余項場的FFT替代。
%?J\P@ KS}Ci- 3.數(shù)值
仿真 zkYlIUD <~!7?