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    [技術(shù)]半解析快速傅里葉變換 [復(fù)制鏈接]

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    只看樓主 倒序閱讀 樓主  發(fā)表于: 2024-05-30
    我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項(xiàng)式相位項(xiàng)的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。 <~-cp61z;  
     y-^m  
    1.簡介 .{ r %C4q9  
     ^Qa!{9o[  
    物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計(jì)算量與場分量復(fù)振幅所需采樣點(diǎn)的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強(qiáng)波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計(jì)算工作，甚至在FFT中也是如此。 "P@oO,.  
     /zZ";4  
    2.理論 [}Pi $at  
    2.1 場的表征：提取二次相位 pF}WMt  
     wJu,N(U  
    我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號對應(yīng)6個場分量，也就是V = (E, H)： @w5x;uB|%G  
     VJ()sbl{k  
    >`=<(8bu  
    (1) )lDmYt7me  
    在公式1中，我們假設(shè)場有兩部分：衍射場和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認(rèn)為是余項(xiàng)場。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實(shí)數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出： GR>kxYM%q  
    vOi4$I~CJ  
    (2)
    顯然，在強(qiáng)二次相位情況中，全場比余項(xiàng)場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標(biāo)是通過FFT且無二次相位項(xiàng)exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計(jì)算V(ρ)的傅里葉變換。 'fr~1pmx#3  
     E7>D:BQ\2  
    2.2.半解析傅里葉變換 /O&{fo  
     k{-#2Qz  
    從卷積定理可知： \9`76*X6 c  
    s2t9+ZA+s  
    (3) +/4wioGm  
    通常來說，項(xiàng)必須進(jìn)行數(shù)值計(jì)算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)角度[2]我們可知： R.$1aqA}  
    ]c~W$h+F  
    (4) p^THoF'~T  
    適用于任何復(fù)，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。 r`5svY  
    在該數(shù)學(xué)工具的幫助下，項(xiàng)κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來： SVJt= M  
                         (5)
    其中： 8q_"aa,`  
                          (6)
    其中常數(shù)項(xiàng)。 ~"}o^#@DwJ  
    將公式5帶入公式3，通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)可以表示為： xmNs<mz  
    (7)
    其中： Dwg_#GSr  
    (8)
    這里， 和坐標(biāo)項(xiàng)。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它表示全場的FFT可被兩個余項(xiàng)場的FFT替代。 l[u=_uaYl  
     =dDr:Y<@*  
    3.數(shù)值仿真 A#KfG1K>  
     $fFh4O4  
    這些概念在物理光學(xué)建模和設(shè)計(jì)軟件Wyrowski VirtualLab Fusion[3]中實(shí)現(xiàn)。 |cIv&\ x  
     W