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    [技術(shù)]半解析快速傅里葉變換 [復(fù)制鏈接]

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    只看樓主 倒序閱讀 樓主  發(fā)表于: 05-30
    我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。 1LV|t+Sex  
     n (9F:N  
    1.簡介 <<i=+ed8eP  
     t!NrB X  
    物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計算量與場分量復(fù)振幅所需采樣點的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計算工作，甚至在FFT中也是如此。 r#ks>s  
     7&#'c8]/qh  
    2.理論 o-~-F+mj#  
    2.1 場的表征：提取二次相位 ( ?atGFgu  
     Q,ZkeWQ7%  
    我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號對應(yīng)6個場分量，也就是V = (E, H)： Kw)C{L5a  
     o,iS&U"TC  
    3xc:Y> *`  
    (1) Vx0MG{vG1  
    在公式1中，我們假設(shè)場有兩部分：衍射場和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認(rèn)為是余項場。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出： ER0TY,  
    N;%j#(v j  
    (2)
    顯然，在強二次相位情況中，全場比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標(biāo)是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V(ρ)的傅里葉變換。 a g|9$  
     *9\oD~2Y  
    2.2.半解析傅里葉變換 8Ng) )7g!  
     aMe%#cLI  
    從卷積定理可知： PGC07U:B  
    Yk(NZ3O  
    (3) +3(CGNE  
    通常來說，項必須進行數(shù)值計算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)角度[2]我們可知： @`#OC#  
    DK2c]i^|=  
    (4) LX&=uv%-^  
    適用于任何復(fù)，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。 0b!fWS?,k0  
    在該數(shù)學(xué)工具的幫助下，項κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來： gEX:S(1 QP  
                         (5)
    其中： 37GHt9l  
                          (6)
    其中常數(shù)項。 h+\$ Z]  
    將公式5帶入公式3，通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)可以表示為： 1 8l~4"|fk  
    (7)
    其中： pP=_@ 3 D  
    (8)
    這里， 和坐標(biāo)項。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達式。它表示全場的FFT可被兩個余項場的FFT替代。 +z{x 7  
     mE)x7  
    3.數(shù)值仿真 %a%+!wX0x  
     kW*W4{Fth  
    這些概念在物理光學(xué)建模和設(shè)計軟件Wyrowski VirtualLab Fusion[3]中實現(xiàn)。 pZNlcB[Qn-  
     C{lB/F/|!  
    3.1.有效性測試1：純二次相位 x`&P}4v0  
     6'3Ey'drH  
    在第一組測試中，我們準(zhǔn)備了余項場，其幅度信息如圖1所示，且相位為零。我們將不同的二次相位項exp(iψq(ρ))與之相乘，組成。然后我們分別對全場應(yīng)用FFT和半解析FFT。 YB(#]H|8S  
    >rQ)|W=i  
    G5C#i7cpm  
    圖2展示了不同情況下FFT和半解析FFT所需的采樣點�？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)場有強二次相位時，半解析FFT需要比FFT少得多的抽樣點。 4jI*Y6Wkz  
    ~8S4Kj)%  
    PDa06(t7  
    在圖3中我們給出了三個典型位置的角頻譜的振幅。解釋了波陣面相位的物理意義，因此當(dāng)波陣面相位非常小時，在FT中衍射效應(yīng)占主導(dǎo)地位。否則，當(dāng)波陣面相位增加時，F(xiàn)T展現(xiàn)了越來越多的幾何特征。 _A# x&<c  
    GcU(:V2o  
    3.2 有效性測試2：球形相位 .>cL/KaP  
    在第二組中，我們將乘上另一種相位：球形相位 。 i1kh@s~8UC  
    不像測試1，我們只能用解析方法處理二次部分而不能處理整個球形相位。所以，余項場的相位不再是零而是球形和二次相位之間的差值，并且它會隨著球半徑r的減小而越來越大。 ^+.e5roBKj  
    不同情況下FFT和半解析FFT的抽樣點于圖4給出。結(jié)果顯示在強球形相位情況下，由于相位差，需要更多的抽樣點，這導(dǎo)致了半解析FT的抽樣數(shù)量同樣增加了。 EV;;N  
    7ipY*DT8  
    iyHp$~,q?t  
    4.結(jié)論 l