摘要

通過(guò)考慮諧波場(chǎng)而非光線，光場(chǎng)追跡法對(duì)光線追跡法進(jìn)行了概括推廣。光場(chǎng)追跡法可以容許位于系統(tǒng)不同子區(qū)域的不同的建模技術(shù)進(jìn)行無(wú)縫連接�；�于分解和互聯(lián)的理念，這篇文章介紹了非序列場(chǎng)追跡的基本概念，同時(shí)推導(dǎo)出了相應(yīng)的算子方程組和一個(gè)求解公式用于仿真。對(duì)問(wèn)題的求值需要局部麥克斯方程的解（分解）；并且隨著迭代過(guò)程的收斂實(shí)現(xiàn)解決方案在通過(guò)界面處的連續(xù)性（互聯(lián)）。通過(guò)使用引入的一種新的光路樹(shù)算法，對(duì)需要求解的局部問(wèn)題的數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化。最后，我們展示了一些選擇局部麥克斯韋方程組的案例和數(shù)值結(jié)果。

1. 簡(jiǎn)介

現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)需要高級(jí)模擬技術(shù)。通常，仿真過(guò)程中需要在時(shí)域或者頻域中求解麥克斯韋方程組。即使這些方程的解決方案已經(jīng)在過(guò)去數(shù)十年被廣泛的討論，使用比如有限元法（FEM），但由于以下主要原因，其在光學(xué)領(lǐng)域仍然非常具有挑戰(zhàn)性：（1）感興趣的波長(zhǎng)一般在1微米以下，有時(shí)甚至在100納米之下，（2）一個(gè)系統(tǒng)中的長(zhǎng)度量級(jí)可能在納米和米之間變化。應(yīng)用波長(zhǎng)532納米（綠光）的標(biāo)準(zhǔn)激光系統(tǒng)，使用特征尺寸僅有幾微米的結(jié)構(gòu)界面并且需要在一個(gè)系統(tǒng)中與數(shù)厘米或者米的結(jié)構(gòu)一同模擬。這表明物理光學(xué)模擬，例如，使用標(biāo)準(zhǔn)的有限元法，如今在標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算機(jī)上并不可行。

另一方面，大部分光學(xué)系統(tǒng)可以通過(guò)使用近似的方法，實(shí)現(xiàn)足夠精確的模擬。尤其是光線追跡方法在光學(xué)模擬中得到了廣泛的使用。幾款基于光線追跡方法的商業(yè)工具在二十世紀(jì)八十年代隨著個(gè)人電腦技術(shù)的新興便已確立。然而，光線追跡方法有一些嚴(yán)重的限制，例如，當(dāng)系統(tǒng)中存在微結(jié)構(gòu)時(shí)，其便會(huì)失效。

這就是我們引入場(chǎng)追跡的原因[6,12]。場(chǎng)追跡將一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)分解成子域。與光線追跡相比，場(chǎng)追跡是計(jì)算通過(guò)系統(tǒng)的電磁諧波場(chǎng)。在實(shí)際應(yīng)用中，此方法具有三個(gè)基本的優(yōu)勢(shì)：（1）場(chǎng)追跡法統(tǒng)一光學(xué)建模。其概念允許我們?cè)谙到y(tǒng)的不同子域中應(yīng)用任何表述矢量諧波場(chǎng)的技術(shù)。（2）應(yīng)用矢量諧波場(chǎng)作為場(chǎng)追跡的基礎(chǔ)，為光源建模提供了極大的便利性。通過(guò)讓諧波場(chǎng)集在系統(tǒng)中傳輸，可以研究部分時(shí)間和空間相干光源以及超短脈沖[9]。（3）在系統(tǒng)建模和設(shè)計(jì)中，探測(cè)器函數(shù)的任意類型評(píng)價(jià)非常重要。使用矢量表述諧波場(chǎng)，能夠自由的獲取所有的場(chǎng)參數(shù)，因此能夠引入和評(píng)估任意類型的探測(cè)器。在場(chǎng)追跡中，通過(guò)求解局部麥克斯韋問(wèn)題以計(jì)算各子域。這些局部問(wèn)題具有這樣的屬性：能夠在所有容許函數(shù)的子空間中產(chǎn)生解。此外，近似的麥克斯韋求解器足夠精確且比嚴(yán)格的麥克斯韋求解器更高效。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，我們調(diào)整了“域分解以及分解和互聯(lián)”方法的主要理論，而這些方法已經(jīng)被使用在許多應(yīng)用中，參考引用文獻(xiàn)[3]和[4]。場(chǎng)追跡的目標(biāo)是通過(guò)聯(lián)合不同的子域求解器，在保證計(jì)算精度的情況下，盡可能快的構(gòu)筑出一個(gè)針對(duì)問(wèn)題的求解器。通過(guò)施加連續(xù)條件，將局部解進(jìn)行耦合以求解全局問(wèn)題。為了這個(gè)目的，我們希望將那些在光學(xué)中已經(jīng)完善建立的追跡技術(shù)普遍化。文獻(xiàn)[12]著重介紹了序列情況。此處我們希望將此理論擴(kuò)展到非序列情況中并增加更多的描述求解器的算法模塊。這篇文章展示了如何進(jìn)行將分解和互聯(lián)進(jìn)行應(yīng)用。

這篇文章結(jié)構(gòu)如下。在第二部分，我們討論了局部麥克斯韋求解器的定義。我們描述了如何使用分解和互聯(lián)的方法來(lái)闡述3D麥克斯韋問(wèn)題。基于諾依曼級(jí)數(shù)推導(dǎo)出來(lái)的使用局部算子的解公式導(dǎo)致一個(gè)無(wú)窮求和。通過(guò)使用一個(gè)修訂的公式，可以將求和作為一個(gè)迭代過(guò)程進(jìn)行重構(gòu)，這個(gè)公式將在第三部分討論。算法本身可以歸結(jié)為一個(gè)光路邏輯樹(shù)。應(yīng)用場(chǎng)追跡方法求解局部問(wèn)題將在第四部分討論。最后，我們將在第五部分呈現(xiàn)數(shù)值結(jié)果并在第六部分進(jìn)行總結(jié)。

2.分解和互聯(lián)方法

光學(xué)系統(tǒng)建模主要是求解麥克斯韋方程組以在R³中獲得電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H。麥克斯韋方程組的頻域表示如下

對(duì)于線性物質(zhì)方程和各向同性介質(zhì)。系統(tǒng)的折射率n ̂(r)是非均勻的，并且定義如下：

，其中r=(x,y,z)。各頻譜w的解是一個(gè)電磁諧波場(chǎng)，它是由三個(gè)電場(chǎng)分量和三個(gè)磁場(chǎng)分量決定的。在光學(xué)系統(tǒng)建模中，求解系統(tǒng)域Ω中所有場(chǎng)的分量是一個(gè)最普遍待解決的任務(wù)。

為了簡(jiǎn)化符號(hào)我們使用場(chǎng)矢量V來(lái)概述六個(gè)場(chǎng)方向：

由麥克斯韋方程來(lái)看，很明顯六個(gè)場(chǎng)方向并不是獨(dú)立的。尤其是我們總是可以從電場(chǎng)矢量計(jì)算出磁場(chǎng)。然而我們使用場(chǎng)矢量V是為了強(qiáng)調(diào)模擬中必須包含了六個(gè)場(chǎng)分量，這為我們定義探測(cè)器提供了最大的靈活性，能夠方便的讓我們進(jìn)行光場(chǎng)性能評(píng)估。例如，在能量考慮方面，坡印廷矢量是非常實(shí)用的。其定義結(jié)合了磁場(chǎng)和電場(chǎng)。

圖1闡述了所關(guān)心的建模情景。系統(tǒng)位于域Ω⊂R³中。J 個(gè)子域Ωj都處在折射率n ̂(r)中，其中r=(x,y,z)是非均勻的。我們使用Γj來(lái)表示各子域Ωj的邊界。

圖1.形式上一個(gè)系統(tǒng)被分成J個(gè)子域Ωj。所有的子域都處在一個(gè)折射率為n的均勻和各項(xiàng)同性介質(zhì)中。子域的邊界用Γj表示。

從實(shí)際的角度來(lái)看，子域與系統(tǒng)的元件緊密相關(guān)，但對(duì)于接下來(lái)要討論的內(nèi)容來(lái)說(shuō)那并不重要。特別是其有利于將一個(gè)元件分解成多個(gè)子域。此外，有時(shí)候這有利于在系統(tǒng)的均質(zhì)區(qū)域定義一個(gè)子域。根據(jù)建模技術(shù)的規(guī)格，可以在一定程度上自由地選擇子域的形狀和尺寸。所有的子域都處在折射率為n的均勻電介質(zhì)中。

為了獲得一個(gè)公式以模擬整個(gè)系統(tǒng)，我們應(yīng)用了一些分解和互聯(lián)的方法。首先我們?yōu)槊總�(gè)子域Ωj定義了散射問(wèn)題。然后我們確定方程以將局部散射問(wèn)題的解進(jìn)行互聯(lián)。最終，全局問(wèn)題由一個(gè)均衡方程描述以確保場(chǎng)的連續(xù)性。

為了定義局部散射問(wèn)題，我們將邊界Γj處的光場(chǎng)表示為

此外，我們使用來(lái)定義作用于子域Ωj的輸入光場(chǎng)，使用來(lái)定義對(duì)應(yīng)的輸出光場(chǎng)。通過(guò)算符 散射問(wèn)題的解定義了輸入場(chǎng)到輸出場(chǎng)的映射

互聯(lián)問(wèn)題描述了在均質(zhì)中一個(gè)輸入場(chǎng)和一個(gè)輸出場(chǎng)中任意一對(duì)（，）之間的關(guān)系。為此我們引入了算子，將輸出場(chǎng)子域ⅈ映射到輸入場(chǎng)子域j，其中ⅈ≠j：

圖2.場(chǎng)追跡經(jīng)過(guò)邊界Γj（左邊）的兩個(gè)平面部分之間的一個(gè)子域和場(chǎng)追跡在兩個(gè)子域（右邊）的平面邊界部分間的傳播的應(yīng)用示意圖。

以前計(jì)算需要求解一個(gè)麥克斯韋問(wèn)題，但是現(xiàn)在在均勻介質(zhì)R³的半空間（與Γj相關(guān)）且在邊界Γj處的入射場(chǎng)為時(shí)，在邊界Γi處所求得的解僅產(chǎn)生。

最后，我們必須確保光場(chǎng)的連續(xù)性。由此引出處理所有子域間的多次作用問(wèn)題的均衡方程。在Γj處的輸出場(chǎng)必須滿足方程

可選的光源場(chǎng)會(huì)作用于子域j的輸出場(chǎng)，并因此和包含所有其他子域貢獻(xiàn)的和相加。根據(jù)（10）我們推導(dǎo)出一系列J 方程以用于計(jì)算未知的，其中j=1，…,J。

下一步我們推導(dǎo)方程（10）的矩陣公式。為此，我們定義以下的矢量和矩陣：

I是恒等算子的對(duì)角矩陣。因?yàn)槲覀儾豢紤]子域輸出場(chǎng)到其自身輸入場(chǎng)的映射，因此P的對(duì)角元素總是0�；�于此定義我們重寫了方程（10），其形式如下

其將產(chǎn)生

如果下列條件

滿足的話，則方程（17）可以很好的被定義并使用諾曼級(jí)數(shù)[7]來(lái)進(jìn)行求解

對(duì)廣泛的應(yīng)用來(lái)說(shuō)，條件（18）是成立的。在介質(zhì)中、外部邊界處（無(wú)限）或者與探測(cè)器相連的邊界處的任意吸收過(guò)程都會(huì)導(dǎo)致||CP||<1，因?yàn)閨|C||≤1且||P||≤1。然而，對(duì)于沒(méi)有任何損耗的腔體，||CP||=1，因此，諾曼級(jí)數(shù)不會(huì)收斂。在這種情況下，分解和互聯(lián)方法必須在一個(gè)本征求解器中使用。

(19）中的級(jí)數(shù)極限是光學(xué)仿真問(wèn)題的解。一個(gè)合適的截?cái)嗫梢杂糜诮�似解。很明顯，連續(xù)的被加數(shù)可以通過(guò)一個(gè)更新后的公式進(jìn)行計(jì)算。這種方法會(huì)導(dǎo)致一個(gè)所謂的光路樹(shù)算法，我們將在下一部分討論。為了進(jìn)行求和計(jì)算，必須求解局部麥克斯韋問(wèn)題以評(píng)估算子C和P。只要使用場(chǎng)矢量V的耦合確定了，任意嚴(yán)格或是近似的求解器的都能使用。這種方法稱之為場(chǎng)追跡，我們將在第四部分進(jìn)行討論。

3. 光路樹(shù)

此部分我們將討論如何有效地對(duì)方程（19）進(jìn)行求解。為了避免重復(fù)相同的操作，我們將使用更新的公式。通過(guò)對(duì)無(wú)窮和進(jìn)行截至，我們定義了一個(gè)迭代過(guò)程。第k次迭代的定義為

我們引入了一個(gè)輔助變量 。然后，通過(guò)定義初始條件

我們獲得了如下的更新公式

給予一個(gè)閾值δ，一個(gè)合適的終止判據(jù)可由此定義

其中rk是更新的的相對(duì)功率：

即使，為了求解矢量，我們已經(jīng)定義了一個(gè)迭代過(guò)程。在每一步迭代中，我們必須求解多組局部麥克斯韋問(wèn)題：一種是對(duì)每個(gè)子域Ωj（應(yīng)用算子C）；一種是對(duì)任意子域Ωi和Ωj（應(yīng)用算子P）之間的每個(gè)自由空間區(qū)域。如果(18)成立，則結(jié)果將會(huì)收斂。我們將在第5部分給出了使用終止判據(jù)（25）獲得的收斂結(jié)果。

事實(shí)證明更新公式（23）需要進(jìn)行進(jìn)一步的討論。對(duì)某一行j 進(jìn)行矩陣符號(hào)擴(kuò)展，可以給出求和形式

每個(gè)被加項(xiàng)都代表一個(gè)諧波場(chǎng)。為了利用那些勇于有效的構(gòu)建子域求解器的場(chǎng)的局部特性，可取的的方法是不進(jìn)行求和計(jì)算，而是在后續(xù)進(jìn)行計(jì)算中操作單項(xiàng)被加數(shù)。

上述情況促使我們開(kāi)發(fā)了光路樹(shù)。這個(gè)算法能夠考慮迭代矢量的稀疏性。這種稀疏性常見(jiàn)于光學(xué)模擬。實(shí)際上，這似乎有以下原因：（1）只有單個(gè)光源存在，（2）光沿一個(gè)路徑傳播通過(guò)元件（例如，在顯微鏡中經(jīng)過(guò)一系列透鏡），（3）僅僅在表示探測(cè)器的一個(gè)（或者一些）平面上計(jì)算結(jié)果（例如，一個(gè)相機(jī)）。在[12]中已經(jīng)討論了序列場(chǎng)追跡（其中命名為“對(duì)流單鄰近似”），對(duì)一個(gè)包含初始（光源）到終止（探測(cè)器）光路系統(tǒng)，它生成一個(gè)非零輸入的。這里，我們將這種方法推廣到一般情況，我們也稱之為非序列場(chǎng)追跡。

舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們來(lái)討論光路樹(shù)的結(jié)構(gòu)，這個(gè)例子是一個(gè)包含了一個(gè)光源、兩個(gè)平板和一個(gè)用于計(jì)算光場(chǎng)的探測(cè)器的光學(xué)系統(tǒng)。裝置如圖3所示。

圖3.包含一個(gè)光源，兩個(gè)平板和一個(gè)探測(cè)器的光學(xué)系統(tǒng)的例子。箭頭表示的是求和中的單個(gè)被加項(xiàng)，級(jí)次代表了計(jì)算截?cái)嗲蠛偷牡�代步�?shù)。

圖3中，箭頭表示光場(chǎng)在兩個(gè)平板之間的傳輸。虛線箭頭表示此傳輸對(duì)最終場(chǎng)沒(méi)有貢獻(xiàn)，即，可以將其忽略。此外，箭頭按級(jí)次1至5進(jìn)行排序。級(jí)次指數(shù)代表

了迭代數(shù)k。由于實(shí)際原因，我們?yōu)槊總�(gè)平板都引入了一個(gè)正面和背面。對(duì)如3中所描述的系統(tǒng)。對(duì)應(yīng)的光路樹(shù)如圖4中所示。樹(shù)的節(jié)點(diǎn)與任意矢量的一個(gè)輸入（被加項(xiàng)）或者與在Γj處的解相聯(lián)系。節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系與算子或者有關(guān)。不失一般性，我們假設(shè)僅對(duì)一個(gè)指數(shù)j成立。因此，樹(shù)僅有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)。

忽略虛線鏈接，光路樹(shù)對(duì)于計(jì)算截?cái)嗫偤褪亲詈线m的（20），因?yàn)槠鋬H僅包含了那些必須的算符而相同的算符（求解相同的麥克斯韋問(wèn)題兩次）不會(huì)出現(xiàn)。

最后我們將討論一個(gè)用于生自動(dòng)生成光路樹(shù)的算法。特別是我們想基于光線追跡近似使用試驗(yàn)光線來(lái)檢測(cè)稀疏性。首先，我們引入一個(gè)數(shù)據(jù)集以來(lái)描述試驗(yàn)光線：

現(xiàn)在，對(duì)于試驗(yàn)光線，我們定義兩類算子：（i） -對(duì)于在Γj上給定的試驗(yàn)光線，計(jì)算試驗(yàn)光線上域Ωj的效應(yīng)。（ii） -對(duì)于在Γ_i上給定的試驗(yàn)光線，計(jì)算在Γi和Γj之間的自由空間的效應(yīng)。

圖4.光路樹(shù)用于兩個(gè)平板的示例，其截?cái)嗫偤驮趉=5。

此外，我們可以通過(guò)對(duì)試驗(yàn)光線使用強(qiáng)度規(guī)則來(lái)控制終止時(shí)機(jī)。為此，我們將光源的強(qiáng)度初始化為1。算子和在處理強(qiáng)度時(shí)考慮了吸收效應(yīng)、界面處的菲涅爾效應(yīng)以及其他效應(yīng)。對(duì)于一個(gè)給定的光源，我們定義樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)n^0并且指定初始試驗(yàn)光線強(qiáng)度為1。對(duì)于初始列表和一系列節(jié)點(diǎn)，用來(lái)構(gòu)建樹(shù)的算法AddNodes被遞歸調(diào)用。

再次說(shuō)明，條件（18）保證了樹(shù)生成算法的終止。

4.場(chǎng)追跡方法

在前面的部分我們已經(jīng)描述了用于求解光學(xué)仿真任務(wù)的基于分解和互聯(lián)技術(shù)的算法。已經(jīng)表明，此算法需要兩類算子。算子用于描述任意散射體間的自由空間傳輸，算子描述光學(xué)元件的散射效應(yīng)。對(duì)于這些算子，仍然需要定義顯式的公式。那么問(wèn)題來(lái)了，和 是否必須是嚴(yán)格的麥克斯韋方程求解器。如果是，此方法將會(huì)被限制在那些已知的物理光學(xué)上，包括最主流的如有限和邊界元法，有限差分和有限積分技術(shù)。然而，經(jīng)典光學(xué)建模和設(shè)計(jì)到現(xiàn)在已經(jīng)使用時(shí)數(shù)十年了，從中我的知道，幾何光學(xué)方法和其他的近似方法是及其強(qiáng)大的技術(shù)，能夠描述自由空間傳輸和各種重要的光學(xué)元件對(duì)諧波場(chǎng)的效應(yīng)。由于光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可以看做在特定條件下求解局部麥克斯韋問(wèn)題，因此那些近似通常是有效的。對(duì)于此約束，一個(gè)經(jīng)典的例子是在經(jīng)典激光系統(tǒng)中發(fā)生的局部傍軸場(chǎng)。因此，實(shí)際經(jīng)驗(yàn)非常鼓勵(lì)我們使用不同的嚴(yán)格和近似局部麥克斯韋求解器以求解算子 和 。用于一個(gè)系統(tǒng)子域的任何合適的建模技術(shù)都必須對(duì)電磁諧波場(chǎng)公式化。在此必須強(qiáng)調(diào)是，在過(guò)去這種方法并未在光學(xué)建模中成為標(biāo)準(zhǔn)。因此系統(tǒng)建模不是基于一種建模技術(shù)，而是多種建模技術(shù)的平滑結(jié)合，同時(shí)每個(gè)子域足夠精確。這就是我們所說(shuō)的統(tǒng)一化光學(xué)建模。在此方法中，根據(jù)之前給出的方程，諧波場(chǎng)以不同的算子和的形式被追跡通過(guò)系統(tǒng)。我們把這種方法稱為場(chǎng)追跡，它是對(duì)光線追跡的自然推廣，其中光線追跡是通過(guò)幾何光學(xué)，追跡通過(guò)一個(gè)系統(tǒng)所有子域的光線束�？傊�，分解和互聯(lián)算法，結(jié)合在不同的子域中針對(duì)和進(jìn)行的諧波場(chǎng)技術(shù)的適當(dāng)選擇，實(shí)現(xiàn)了場(chǎng)追跡法統(tǒng)一化光學(xué)建模。在光學(xué)系統(tǒng)的建模中，生成的非序列場(chǎng)追跡概念是對(duì)非序列光線追跡本質(zhì)的推廣。

對(duì)于算子 和 ，已經(jīng)在[12]中提出了一些可能的選擇。其中，推導(dǎo)了幾個(gè)自由空間算子并討論了他們的近似特性。算子的一個(gè)嚴(yán)格版本可以從z=0處一個(gè)諧波場(chǎng)的平面波分解直接推導(dǎo)而來(lái)。這個(gè)分解過(guò)程可以描述為，將諧波場(chǎng)的任意分量傅里葉變換至k空間[1]：

其中k=(kx,ky )，ρ=(x,y)且l=1,…,6。其逆變換如下：

對(duì)于平面波算子的推導(dǎo)，我們使用如下的事實(shí)，即每個(gè)平面波的傳輸通過(guò)乘以相位項(xiàng) [2,5]進(jìn)行描述。方向分量kz表示如下

算子定義如下

平面波角譜(SPW)算子沒(méi)有引入物理近似。讓我們來(lái)討論其數(shù)值特性。光場(chǎng)分量的帶寬在傳輸過(guò)程中是一個(gè)不變量。這可以從嚴(yán)格SPW算子（29）中推導(dǎo)出來(lái)。頻譜乘以相位因子exp⁡[ⅈkz]。這一步并不改變頻譜的范圍，也就是光場(chǎng)的帶寬�；�于采樣原理[1]，一個(gè)不變的帶寬可以直接得出結(jié)論，即場(chǎng)的（最大）采樣周期在傳輸中也是一個(gè)不變量。為了將（31）應(yīng)用到一個(gè)采樣場(chǎng)，需要兩個(gè)離散傅里葉變換。對(duì)于采樣點(diǎn)數(shù)N ，其數(shù)值計(jì)算量是接近最優(yōu)的（O（NlogN））。采樣點(diǎn)數(shù)是基于采樣周期（傳輸過(guò)程中不變）以及輸入和輸出之間最大的場(chǎng)尺寸來(lái)定義的。因此，如果傳輸過(guò)程中場(chǎng)尺寸不明顯變化的話，SPW算子會(huì)有一個(gè)接近最優(yōu)的數(shù)值計(jì)算量。這種情況適用于小角度的傍軸場(chǎng)。然而，對(duì)于非傍軸場(chǎng)，用來(lái)評(píng)估結(jié)果的數(shù)值計(jì)算量變得不現(xiàn)實(shí)。在這種情況下，場(chǎng)尺寸在傳輸后可能比z=0處的場(chǎng)大的多。這就是為什么在可能的情況下必須使用相應(yīng)的近似算子，，如適合于傍軸情況的菲涅爾算子或者適合于遠(yuǎn)場(chǎng)情況遠(yuǎn)場(chǎng)算子。在[12]中，已經(jīng)顯示了如何設(shè)計(jì)一個(gè)選擇合適算子的自動(dòng)程序以產(chǎn)生一個(gè)自動(dòng)選擇的自由空間傳播算子。也可以使用快速邊界元方法來(lái)替代。

對(duì)于分量傳輸算子，幾何光學(xué)方法被廣泛的使用。關(guān)于他們的討論，也可在[12]中發(fā)現(xiàn)。有限元微分法也可用于。為了理解有限元微分法，[8]中討論了散射問(wèn)題的公式化。讓我們來(lái)簡(jiǎn)短的討論一下效率問(wèn)題。在場(chǎng)追跡的框架中，對(duì)一個(gè)子域生成的有限元系統(tǒng)，整個(gè)迭代過(guò)程保持不變。迭代進(jìn)入邊界條件，即，僅在方程的右邊。在場(chǎng)追跡中迭代過(guò)程僅處理一次，而對(duì)于不同的右邊部分，同樣的系統(tǒng)需要進(jìn)行多次求解。即，由于計(jì)算起來(lái)困難的矩陣分解可以被重復(fù)使用，因此使用直接求解器以求解有限元系統(tǒng)這種做法會(huì)非常高效。

讓我們?cè)谶@里討論一個(gè)關(guān)于算子的特殊情況，即算子用于一個(gè)平面界面元件。我們考慮一個(gè)平面邊界介于兩種真實(shí)折射率為n_i和n_t的均勻介質(zhì)間，它位于在z=0處。我們假設(shè)邊界垂直于z軸。平面波在xz平面內(nèi)傳輸，并假設(shè)以角度θ_i，從折射率為n_i的材料中入射。由于邊界是無(wú)窮的，在xz平面內(nèi)傳輸?shù)膯我环瓷浜蛦我煌干涫峭ㄟ^(guò)相互作用產(chǎn)生的。波沿由角度θi和θt定義的方向傳播。

在準(zhǔn)二維幾何中，麥克斯韋方程組被分成可分別求解的兩組。一組中僅包含y方向的電場(chǎng)（以及x方向和z方向的磁場(chǎng)），這一組討論的是TE偏振。另外一組僅包含了y方向的磁場(chǎng)以及x和z方向的電場(chǎng)，然后這一組討論的是TM偏振。兩種偏振情況都能給出邊界條件的一個(gè)直接評(píng)估�？傊�，例如，TE偏振以及通過(guò)來(lái)表示入射光的復(fù)振幅，這個(gè)波可以使用如下形式來(lái)表示

同理，振幅為的反射光可以寫為如下形式

我們已經(jīng)注意到，光在入射介質(zhì)中會(huì)反向傳輸。最后，復(fù)振幅為 的透射光的表達(dá)式如下

接下來(lái)使用的連續(xù)條件，從而獲得的決定反射和透射平面波自由參數(shù)的方程。在(x,z)=(0，0)處使用連續(xù)條件，推導(dǎo)出 θi，θr和θt之間的三個(gè)方程，從中我們可以直接獲得反射定律

以及斯涅爾折射定律

其中定義了角度θt。此外，對(duì)于反射和折射場(chǎng)振幅，我們可以獲得以下關(guān)系式

以及

上述公式即是TE偏振光的菲涅爾方程。

在此處給出的兩個(gè)算子，用于下一部分中作為模型問(wèn)題來(lái)討論的平面界面問(wèn)題。下一部分，我們將假設(shè)有一個(gè)傍軸設(shè)置，即θi=0。

5.數(shù)值案例

在實(shí)際中，非序列場(chǎng)追跡算法的性能可以使用一個(gè)Fabry-Perot干涉儀系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。特別是我們考慮一系列平行平板，如圖5所示。我們?cè)俅我�入了分解：一個(gè)平板分成兩個(gè)邊界。然后我們?cè)诰鶆蚪橘|(zhì)中（空氣或者平板介質(zhì)）應(yīng)用平面波角譜算子并在每個(gè)邊界使用（37）-（38）中的散射算子。

圖5.多平板實(shí)驗(yàn)裝置。我們認(rèn)為平板間的介質(zhì)為空氣（n=1），平板具的折射率n是一個(gè)變量。

平板放置在空氣中，空氣折射率n=1.0027。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我們改變平板的折射率、平板數(shù)目以及平板厚度。平板的距離（如果超過(guò)一個(gè)）是5mm。我們使用了一個(gè)直徑為幾毫米的平面光源。實(shí)驗(yàn)中波長(zhǎng)是變化的。不考慮吸收。

在第一個(gè)實(shí)驗(yàn)系列中，我們研究了算法的收斂性。為此，我們使用了試驗(yàn)光線算法，并觀察了rk的收斂性（見(jiàn)（25））。結(jié)果見(jiàn)圖6。

圖6.不同設(shè)置的收斂結(jié)果：2個(gè)平板，折射率n=1.5（左圖），2個(gè)平板，折射率n=3.0（中圖）以及4個(gè)平板，折射率n=1.5（右圖）。

我們考慮了兩個(gè)平板（4個(gè)邊界），其中n=1.5；兩個(gè)平板（4個(gè)邊界），其中n=3.0以及四個(gè)平板（8個(gè)邊界），其中n=1.5。為了將誤差降低到0.01，所需的迭代數(shù)分別為8（2個(gè)平板，n=1.5），13（2個(gè)平板，n=3）以及17（4個(gè)平板，n=1.5）。在第二個(gè)實(shí)驗(yàn)系列中，我們針對(duì)一些入射場(chǎng)使用了非序列場(chǎng)追跡算法，見(jiàn)圖7。我們計(jì)算了不同裝置的透射率。為了評(píng)價(jià)新的方法，我們使用一個(gè)嚴(yán)格的傅里葉模態(tài)法（FMM）[10]，將兩者的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。這種方法考慮的是周期性系統(tǒng)，并計(jì)算了一個(gè)無(wú)窮入射平面波的效率。FMM算法非常成熟，我們希望兩種方法所計(jì)算出來(lái)的結(jié)果能夠高度一致。

圖7.左圖，入射平面波（5mm直徑）的振幅。右圖，波長(zhǎng)在400nm（n=1.4705）到600nm（n=1.4584）范圍之間變化時(shí)Fused Silica的折射率。

在實(shí)驗(yàn)中我們也考慮了色散效應(yīng)。當(dāng)材料的折射率與波長(zhǎng)相關(guān)時(shí)，即會(huì)產(chǎn)生這些效應(yīng)。為此，我們使用Fused Silica作為平板材料。折射率如圖7所示。我們?cè)俅胃淖円恍┫到y(tǒng)的參數(shù)，考慮單個(gè)平板（2個(gè)邊界）。在第一個(gè)系列中，我們將厚度作為變量，變化范圍從1um到2um。

結(jié)果如表1所示。正如期望一樣，在所有的值之間可以看到一個(gè)非常好的吻合。

6. 結(jié)論

我們展示了可用于光學(xué)仿真問(wèn)題高效解答的光場(chǎng)追跡技術(shù)。由此生成的算法能夠結(jié)合那些包含嚴(yán)格和近似方法的局部麥克斯韋求解器。在光學(xué)中，局部問(wèn)題通常表現(xiàn)良好且局部求解器可以適應(yīng)于局部特征以加快計(jì)算速度。進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)檢測(cè)并將這些局部特征進(jìn)行分類。這些信息可以用于設(shè)計(jì)合適的局部求解器。此文章中所呈現(xiàn)的解算法可以很容易的并行運(yùn)行。特別是一個(gè)樹(shù)級(jí)次的所有局部求解器可以在一個(gè)分布計(jì)算環(huán)境下進(jìn)行并行運(yùn)行。然后，實(shí)現(xiàn)交流僅需要完成與子域邊界相關(guān)的場(chǎng)數(shù)據(jù)的交換。盡管是為了將諧波場(chǎng)傳播通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)我們將場(chǎng)追跡公式化，但它也可以被用于一般場(chǎng)，如靜態(tài)和脈沖光[9,11]。為此，一般場(chǎng)可以分解為一系列諧波場(chǎng)模式這些模式可以被追跡通過(guò)系統(tǒng)并使用合適的探測(cè)器進(jìn)行評(píng)估。

致謝：此處為Ulrich Langer學(xué)生，M.Kuhn博士的個(gè)人致謝。我總是樂(lè)于成為Ulrich Langer的學(xué)生和同事。我想要感謝他非凡的教育。Ulrich在表述科學(xué)問(wèn)題方面具有卓越的能力，具有很強(qiáng)的實(shí)踐意義。他鼓勵(lì)我在麥克斯韋問(wèn)題這個(gè)領(lǐng)域工作。最終，這引領(lǐng)我成為極具創(chuàng)新的光學(xué)仿真工具VirtualLab[6]軟件優(yōu)秀開(kāi)發(fā)團(tuán)隊(duì)的一員。我希望將此文章獻(xiàn)給Ulrich。最后，他的前提“給需要解決的問(wèn)題設(shè)置一個(gè)數(shù)學(xué)公式！”是這篇文章中所給出的結(jié)果的起點(diǎn)。最后但同樣重要的是，沒(méi)有我的合作作者以及LightTrans的同事，這篇文章是不可能完成的。

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