d>eVR 從光線到物理光學直到現(xiàn)在，所有的效應(yīng)和量都能夠在幾何光學的框架中進行表示。下一步中，我們探索在兩種介質(zhì)間界面的能量效應(yīng)，例如，一個透鏡的表面。眾所周知，在界面處，一部分光被反射回去因此會造成透射部分能量的損失。4%是空氣和玻璃介質(zhì)間透射能量損失的典型值。似乎我們可以直接將這個值對每條光線的作用考慮進去，進而減少在探測平面的探測能量。然而，在我們簡單的將此損失包含在光線追跡中之前，我們應(yīng)該考慮其在光線光學，即費馬原理中的正確性。在介質(zhì)間界面4%的能量損失符合費馬原理嗎？答案是否定的，由于此原理僅處理光程，因此我們無法在光線光學的框架中找到這種表面效應(yīng)的合理解釋。在各種光學教科書中，你可以找到菲涅爾方程的推導，其給出了能量透射率T（透射比）和能量反射率R（反射比）的數(shù)學表達式[1]。此推導考慮的是理想電磁場平面波穿過兩種不同折射率介質(zhì)間的理想平面界面。這個結(jié)論使用了在平面界面處電場和磁場分量是連續(xù)函數(shù)的事實。由此直接推導出菲涅爾方程。而理想平面波以及連續(xù)橫向場分量則來自于麥克斯韋方程組[2]。與完全基于費馬原理的幾何光學相比，我們是基于麥克斯韋方程組來考慮物理光學的。因此，應(yīng)該依據(jù)物理光學來解釋在兩種介質(zhì)界面處光能量的損失，并將其附加到光線追跡路徑，已經(jīng)引出了一種聯(lián)合了光線和物理光學的算法。然而，當將傳統(tǒng)的光線追跡強行的與一種基于物理光學的效應(yīng)，如表面處的菲涅爾效應(yīng)或者光線透過光柵的傳輸，聯(lián)合起來的時候，我們會面臨一個典型且嚴重的問題。即，除了入射光角度很小的時候，菲涅爾效應(yīng)都是與局部偏振相關(guān)的。因此，為了精確地包含菲涅爾效應(yīng)，簡單的光線不夠，我們還需要其偏振信息。讀者可能會問道，那么光線追跡軟件是以什么標準來處理那些問題。事實上是其不可能精確地處理光滑的或者光柵類型的表面效應(yīng)，并且也沒有包含偏振效應(yīng)的模型。
f*7/O |Gp 傳統(tǒng)光線追跡有許多限制，上文提到的僅是我們想要去克服的其中一種。我們所需要的是使用物理光學來表征光線。接下來我們會討論從以幾何光學為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)光線過渡到在物理光學框架中使用的智能光線。
& aldnJ 幾何場追跡
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Fig.2光線與光滑表面（左）、散射表面（中）和局部周期表面（右）的相互作用。使用局部平面波來表征光線
Fig.2演示了一束光線與曲面的相互作用。如果我們以電磁場平面波來解釋一束局部光線且將界面局部地作為平面，那么可以局部地應(yīng)用從物理光學所獲得的理想平面波與理想平面界面相互作用的結(jié)果[3]。因此，我們開發(fā)出了一種用于這種局部電磁場平面波概念的算法，即幾何場追跡[4]。此理論來自于《光學原理》[5]第三章所提出的結(jié)論，并且我們已經(jīng)探討了在幾何場近似條件下使用幾何場追跡[4]來求解麥克斯韋方程組。對于局部平面波，使用這種近似的方法來求解麥克斯韋方程組，可以給出波前為主導的場的空間演化區(qū)域的精確解。相反，若一個場的尺寸沒有遠大于波長，則其開始受衍射主導且不能使用幾何場追跡來傳播該場，而需要使用一個衍射場追跡的方法來進行傳播。換句話說，一個場的散度可以用其波前的曲率（幾何場追跡）或者通過橫向和k空間維度間的不確定性原理的擴展（衍射場追跡）來控制。空間中的任意場都有其衍射的和幾何的主導區(qū)域，對于不同的區(qū)域需要使用合適的建模技術(shù)。如Fig.3，對于傳播經(jīng)過其焦點的球面波。我們想著重的強調(diào)的是，我們已經(jīng)應(yīng)用了能夠自動測試幾何場近似有效性的算法以確保選取最合適的建模技術(shù)以用于傳播的各個區(qū)域。
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Fig.3 透鏡系統(tǒng)出瞳處一個截錐球面波通過其焦點傳播的嚴格一維計算。下圖是上圖焦點區(qū)域的放大。球面波的f/#為20。盡管其是一個旁軸案例，但衍射主要在焦點區(qū)域
在實際中通過追跡智能光線來實現(xiàn)幾何場追跡，當在VirtualLab Fusion軟件中使用時，可以獲得以下特性：
智能光線知道其位置處的所有電磁場信息，三個電場分量和三個磁場分量的振幅，相位以及偏振信息。
智能光線知道并記住光源平面中附近光線的波前。這通過一種合適的光線索引概念（波前索引）來實現(xiàn)。這個方法聯(lián)合了不同的橫向插值技術(shù)以用于所用的場量并將這些場量分配到一條光線上去。插值技術(shù)包含了樣條曲線插值和質(zhì)心坐標網(wǎng)格插值。
伴隨智能光線的還有另外一個索引概念（空間相干索引），其能夠給出智能光線間的相干模式和非相干模式以及其組合模式。這使得我們可以完成對部分相干光的建模。特殊的情況也被包含其中，如完全相干光和非相干光。
為了包含顏色，時間相干和超短脈沖，我們將頻率分配給智能光線，使用一個索引概念來分辨穩(wěn)態(tài)光和脈沖光的頻率分布（頻率索引）。
通過追跡智能光線我們獲得麥克斯韋方程組幾何場近似的解[4]。因此，智能光線將傳統(tǒng)光線追跡推廣，并用一種科學地可靠的方式將其結(jié)合到物理光學建模中。實際上，至關(guān)重要的是幾何場追跡獲得電磁場結(jié)果和傳統(tǒng)光線追跡獲得的結(jié)果，如點列圖的速度是一樣快的。
Glcl7f"<^ 高精度的模擬透鏡系統(tǒng)可以主要依據(jù)幾何場追跡，由于透鏡系統(tǒng)旨在傳輸球面波，因此幾何場追跡近似是有效的。如Fig.4所示。智能光線追跡提供了位于最后一個透鏡后的所有電磁場信息。然而，如前面所討論的（見Fig.3），位于焦面區(qū)域的場不滿足幾何場近似。因此，使用智能光線在最后一個透鏡后獲得的場必須使用衍射技術(shù)傳播到焦點。在標準的光線追跡軟件中，這樣的一個過程或多或少的依賴于軟件包中的點擴散函數(shù)（PSF）和調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）計算工具來精確地完成。場追跡為此以及其他類似的建模任務(wù)提供了一種快速和可靠的物理光學建模策略。
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Fig.4 上面一行顯示的是x方向偏振光經(jīng)過Fig.1中透鏡系統(tǒng)的最后一個透鏡后的電場分量E = (Ex,Ey,Ez)。結(jié)果包含了一個從x到y(tǒng)方向較弱的串擾和一個中等的z分量。此結(jié)果是通過幾何場追跡法在近1秒內(nèi)獲得的。下面一行是將上面所獲得的幾何場追跡結(jié)果衍射傳播到焦點所得到的結(jié)果
v_"p)4&' 模擬散射，光柵以及衍射透鏡追跡通過兩種介質(zhì)間的界面的智能光線為幾何近似的有效性提供了一個簡單的標準。由于智能光線知道其臨近光線的波前，界面后光線的相交很容易地就被自動探測到。相交光線表明波前被破壞了，因此幾何場近似不在有效（Fig.2，中圖）。很明顯地，當光學表面不是光滑且僅小范圍的進行調(diào)制則光線會相交，例如，帶劃痕的透鏡或者一個散射粗糙表面。此種情況下，光學界面后的光場需要一種衍射方法以用于繼續(xù)傳播。此時，我們完全得益于統(tǒng)一場追跡概念，其能夠讓我們結(jié)合不同的電磁場建模技術(shù)以用于系統(tǒng)不同的區(qū)域[6]。
讓我們仔細的看一下一個散射表面后的衍射傳播技術(shù)。一般情況下我們可以使用傅里葉分析來將理想平面波分解以生成不同的傳播積分來探討這種情況。當然，每個平面波可以通過幾何場追跡進行進一步傳播，通過一個物理光學理由和策略將一條輸入光線轉(zhuǎn)換成大量的輸出光線。如果我們假設(shè)光學界面至少是局部周期性的（Fig.2，右圖），例如，一個光柵或者衍射透鏡，依據(jù)光柵方程，那么僅在離散方向上才有平面波的傅里葉分析結(jié)果，如光柵級次。這就允許我們選擇那些感興趣的級次進行使用，如一個衍射透鏡的第一級次。通過幾何場追跡，就構(gòu)建了一個光柵和衍射透鏡的物理光學建模的簡單說明：通過智能光線傳播場到光柵或者衍射透鏡，局部光柵效應(yīng)使用電磁場分析，例如通過傅里葉模態(tài)法（FMM）[7]，然后由此產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)的局部電磁場平面波通過智能光線追跡進一步傳播。需要強調(diào)的是在模擬光柵和衍射透鏡時，與傳統(tǒng)光線光學的準確結(jié)合是無法實現(xiàn)的，而是要求智能光線提供必要的場信息以處理局部光柵效應(yīng)。在VirtualLab Fusion中這項技術(shù)已經(jīng)得到了應(yīng)用，因此能夠使用它來設(shè)計衍射透鏡。然后，衍射透鏡的結(jié)構(gòu)可以以各種格式導出，如用于光刻的GDSII文件。Fig.5演示了一個用光柵將光耦合進和耦合出一個波板以用于色彩混合。
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Fig.5 通過一個光柵將RGB光源的光耦合進入一個波板，通過波板的全內(nèi)反射進行傳播，并使用三個光柵將光耦合出波板以獲得一個部分重疊的混合色彩。本次模擬是通過FMM模擬光柵并使用幾何場追跡的方法來完成的。上圖顯示了光線傳播和幾何場追跡結(jié)果
p#) u2^ 干涉和相干建模
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Fig.6 Mach-Zehnder干涉儀對于一個時間部分相干光源的干涉圖案。此建模是使用幾何場追跡完成的，在PC上對超過100個波長進行計算，用時在1min以內(nèi)
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Fig.7 對于一個不同厚度的薄膜，通過多重干涉所獲得的反射光的強度結(jié)果。使用光源為RGB白光。建模使用的是幾何場追跡，用時少于1min
干涉和相干現(xiàn)象需要使用物理光學建模。因此在傳統(tǒng)光線追跡中自然無法包含這些現(xiàn)象。由于幾何場追跡是一種物理光學技術(shù)，因此包含了干涉和相干效應(yīng)，并可對其進行研究。Fig.6顯示的使用綠色LED光源的Mach-Zehnder干涉儀的模擬結(jié)果。在干涉儀的臂上分別有一個玻璃平板和一個透鏡。對于完全地相干光，我們期望出現(xiàn)一個完美的對比度環(huán)形干涉圖案。然而，LED光源有大約30nm的帶寬，其會導致一個大約10um的時間相干長度。因此，干涉圖案必定會有一個不同的對比度。正如干涉儀的幾何場追跡所揭示的一樣。在Fig.7中，顯示的是一個RGB光源被不同厚度的油膜反射后的結(jié)果。這個建模是通過在薄膜結(jié)構(gòu)中進行非序列幾何場追跡完成的。
UP}Y s* 綜述從麥克斯韋方程組出發(fā)，將傳統(tǒng)光線追跡推廣并引出一種物理光學建模技術(shù)，我們將其稱之為幾何場追跡。幾何場追跡可以與包含了麥克斯韋方程組衍射求解器的衍射場追跡技術(shù)無縫的結(jié)合。幾何場追跡建模包含了如偏振，干涉，散斑和相干等物理光學效應(yīng)，且與傳統(tǒng)光線追跡速度一樣快。用于光學軟件VirtualLab Fusion的所有技術(shù)同樣用于[8]中例子。
lwa xj7 作者 r. 0IC*Y 
"]Wrir?l Frank Wyrowski是Jena的Friedrich Schiller大學的技術(shù)物理教授以及應(yīng)用計量物理組的負責人。在1999年他合作創(chuàng)辦了LightTrans公司，并于2014年聯(lián)合創(chuàng)辦了Wyrowski Photonics公司。他喜歡并致力于各種光學建模和設(shè)計任務(wù)，特別是物理光學領(lǐng)域。其研究成果源源不斷地為光學設(shè)計軟件VirtualLab Fusion的進一步開發(fā)做出貢獻。 iXK.QktHw 
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* Christian Hellmann是Wyrowski Photonics UG的CEO并且負責VirtualLab Fusion的開發(fā)工作。他代表Bosch股份有限公司在Horb的聯(lián)合教育大學完成他的計算機科學學習后加入到了LightTrans股份有限公司。在LightTrans公司其負責光學建模的編程和算法開發(fā)。從2013至2014年，其是LightTrans首席產(chǎn)品官。
t/LQ|/xo 參考文獻[1] E. Hecht and A. Zajac. Optics.AddisonWesley, 1974
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[4] F. Wyrowski, H. Zhong, S. Zhang, and C.Hellmann. Approximate solution of maxwells equations by geometrical optics. InD.G. Smith, F. Wyrowski, and A. Erdmann, editors, Optical Systems Design2015:Computational Optics, volume 9360 of Proceedings of SPIE, page 963009,SPIE, Bellingham, WA, 2015, 2015
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[8] Unied optical design software “Wyrowski VirtualLab Fusion”, developed by Wyrowski Photonics UG,distributed and supported by LightTrans GmbH, Jena, Germany
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