摘要：我們使用近似的物理光學(xué)模模擬了半徑的測(cè)量。使用簡(jiǎn)單的幾何光線模型替換復(fù)雜的物理光學(xué)模型，可以確定在測(cè)量中的偏差。 P|^$k K #^ &j W 1. 簡(jiǎn)介 1Q h`6Ya f
xq!IbVV/h 半徑干涉測(cè)量通常通過簡(jiǎn)單的幾何模型來模擬，即，來自物鏡（或標(biāo)準(zhǔn)透鏡）的光線形成錐形并且聚焦到一點(diǎn)[1]。當(dāng)測(cè)試光學(xué)器件變小和/或需要更高的精度時(shí)，這個(gè)簡(jiǎn)單的幾何模型就會(huì)產(chǎn)生問題并得到錯(cuò)誤的半徑測(cè)量值。需要完整的物理光學(xué)模型來捕獲系統(tǒng)的衍射效應(yīng)和像差。 &!y]:C C{
(tl}q3U 半徑干涉測(cè)量的原理圖如圖1所示。菲索或泰曼格林干涉儀都可用于半徑測(cè)量。在菲索干涉儀中，標(biāo)準(zhǔn)透鏡用作聚焦元件、分束和參考表面。在泰曼格林干涉儀中，使用分束器將光分成參考反射鏡和物鏡，它可以將光束聚焦到測(cè)試部件。 -)<m S
{5 Eyr$ 通過首先將部件放置在共焦位置，然后將部件移動(dòng)到貓眼位置，并測(cè)量部件移動(dòng)的距離，來測(cè)量測(cè)試部件的半徑，該距離就是測(cè)試部件的半徑。當(dāng)澤尼克多項(xiàng)式[1]的離焦項(xiàng)為零時(shí)，共焦和貓眼位置重合。在視覺上，靶心環(huán)是空的。因?yàn)椴僮髡卟荒軐⒉考䴗?zhǔn)確地放置在所需的位置，所以用于確定共焦和貓眼位置的最準(zhǔn)確的方法是逐步通過這兩個(gè)位置。當(dāng)操作者以小步幅移動(dòng)部件通過共焦和貓眼時(shí)，我們記錄離焦和Z位置。然后，我們用一條線擬合離焦VS.Z位置。共焦和貓眼位置是Z位置軸上的截距。這種通過共焦和貓眼步進(jìn)的方法可用于精確半徑測(cè)量[2]，我們?cè)谶@里用于半徑測(cè)量的模擬。 TK>{qxt:=
%HSl)zEo>C 圖1：半徑干涉測(cè)量幾何模型原理圖 {@r*+~C3
在NIST的精密半徑干涉測(cè)量實(shí)驗(yàn)顯示了標(biāo)稱24.466mm半徑的Zerodur球的測(cè)量之間的差異。球體由坐標(biāo)測(cè)量儀機(jī)械測(cè)量，同時(shí)在使用不同標(biāo)準(zhǔn)透鏡的干涉儀上光學(xué)測(cè)量[2]。即使考慮了測(cè)量中的所有已知偏差和不確定性，這種在75nm至400nm范圍內(nèi)的差異仍然存在。對(duì)于這種差異的解釋可能是光被假定遵循幾何模型而不是更準(zhǔn)確的物理光學(xué)模型，我們將在這里進(jìn)行測(cè)試。 EX ?h0Uy
5@XV6 在光的幾何模型中，當(dāng)透鏡的頂點(diǎn)與光的焦點(diǎn)（發(fā)生在距離聚焦元件一個(gè)焦距處）重合時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)貓眼位置。然后，共焦位置距離貓眼位置一個(gè)半徑。在非像差幾何模型中，這發(fā)生在聚焦元件的波前的曲率等于測(cè)試部件的曲率時(shí)。 X^< >6|)
I}v]Z m9 半徑測(cè)量的高斯模型表明了當(dāng)使用幾何模型而不是更復(fù)雜的高斯模型時(shí)，半徑測(cè)量中存在誤差[3]。對(duì)于較小的半徑部分（<1mm），這個(gè)誤差是在105部件的量級(jí)，而對(duì)于較大的部件（25mm），有接近108部件的誤差。當(dāng)考慮具有半徑像差的高斯模型時(shí)，NIST [2]的研究者發(fā)現(xiàn)了6nm的誤差（107部件）。這些像差是由標(biāo)準(zhǔn)透鏡和系統(tǒng)中的其他光學(xué)元件的缺陷引起的。 K@@9:T$
G5{Ot>;*% 下一步是考慮物理光學(xué)模型。當(dāng)然，焦點(diǎn)區(qū)域的分析計(jì)算是不可行的，因此需要近似。對(duì)于這種物理光學(xué)模型，我們使用來自Photon Engineering的軟件包FRED [4]。 3ViM ?p !%mi&ak(Rn 2. FRED模型 [U_[</L7
cD{8|B* FRED通過將光源光束近似為點(diǎn)網(wǎng)格來近似物理光學(xué)模型，其中每個(gè)點(diǎn)發(fā)出高斯分布“子束”。 每個(gè)高斯子束以ABCD矩陣方法[5]傳輸通過光學(xué)系統(tǒng)。在每個(gè)子束通過系統(tǒng)之后，疊加“探測(cè)器”上子束的波前，以近似物理光學(xué)模型。FRED是一個(gè)可視化軟件包，其中透鏡、反射鏡和光源都顯示在它們的相對(duì)位置。FRED不執(zhí)行幾何分析。 k_3j
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H_X?dj15 為了模擬半徑測(cè)量，我們首先插入每個(gè)元件（光源、聚焦透鏡、測(cè)試部件和探測(cè)器）到FRED文件中。然后追跡來自光源的光線。光線由聚焦元件聚焦，從測(cè)試部分反射，再由聚焦元件準(zhǔn)直，然后在探測(cè)器處讀取。在探測(cè)器處的期望輸出是波前的相位。我們按照所述步驟通過共焦和貓眼位置，并獲得每個(gè)點(diǎn)的相位圖。然后我們使用Matlab讀取相位數(shù)據(jù)和Z位置，以確定共焦和貓眼的位置。半徑是兩個(gè)位置之間的差，半徑誤差是測(cè)試部件的輸入半徑和輸出半徑之間的差。 [[qwaI
K!b8= K` 我們?cè)谀M半徑測(cè)量中使用了兩個(gè)不同的光源。我們測(cè)試了在整個(gè)圓形孔徑上具有恒定強(qiáng)度和相位的圓形孔徑光束，這模擬了最佳實(shí)驗(yàn)裝置。第二個(gè)光源是高斯強(qiáng)度光束，通過改變子束的強(qiáng)度，使得強(qiáng)度的疊加是高斯分布，來形成該高斯光束。光源波長為632.8nm（氦-氖），并設(shè)置為相干。子束的數(shù)量可以改變，并且影響測(cè)量的時(shí)間和輸出相位。我們測(cè)試了不同孔徑尺寸的光源，從直徑為4mm的微干涉儀到直徑為150mm的大尺度干涉儀。 DMkhbo&+
bZ# X 9fT 我們測(cè)試了兩種類型的聚焦元件。因?yàn)镕RED使用實(shí)際光學(xué)器件而不是近軸近似，所以典型的透鏡具有太多的附加的球差。因此，我們首先使用拋物面作為聚焦元件，接下來使用具有圓錐表面（以減少像差）的透鏡作為聚焦元件。我們通過改變焦距來測(cè)試不同的數(shù)值孔徑。 >IR$e=5$
ma9ADFFT 我們測(cè)試了一系列測(cè)試部件，半徑從0.25mm到1mm，用于微干涉儀裝置，半徑25mm附近，用于宏觀干涉儀。模擬探測(cè)器以像素劃分，且可以改變。使用的像素越多，測(cè)量速度就越慢，并會(huì)影響相位輸出。圖4（a）示出了使用拋物面聚焦元件的示例測(cè)量。圖4（b）是當(dāng)部件位于貓眼附近時(shí)的波前相位圖的圖片。主要的誤差是離焦，這表明部件并不完全在貓眼處。 =ef1XQ{i* 9NWloK6bT 圖4.（a）FRED中半徑測(cè)量示意圖（b）來自FRED波前相位示例
i<u9:W 3. 結(jié)果 _
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`)[dVfxA 由于篇幅限制，此處僅顯示了幾個(gè)結(jié)果。該模型顯示了半徑、貓眼位置和共焦位置處的誤差。也就是說，輸出半徑不等于輸入半徑，并且貓眼和共焦位置會(huì)有偏移。圖5顯示出對(duì)于改變NA和部件尺寸而沒有附加的像差的微干涉儀的模型的結(jié)果。如圖5（a）所示，誤差隨著的NA目標(biāo)變小而增加，如預(yù)期的那樣，因?yàn)榻裹c(diǎn)較大。此外，對(duì)于較大的部件，誤差較小，如圖5（b）所示。對(duì)于在f/3.2和25mm半徑輸入部件的宏觀尺度干涉儀，誤差為133nm，106中5個(gè)部件。這個(gè)誤差量可以開始解釋在NIST的實(shí)驗(yàn)中所顯示的差異[2]。這些誤差不存在任何像差。如果將典型的像差量添加到模型中，則預(yù)期誤差將增加，這是我們的工作的下一環(huán)節(jié)。 S l.o,W^
^'B-sz{{ 圖5.使用幾何模型而不是更加復(fù)雜的FRED模型的誤差，數(shù)據(jù)來源于微干涉儀裝置。
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