摘要：我們使用近似的物理光學(xué)模模擬了半徑的測(cè)量。使用簡單的幾何光線模型替換復(fù)雜的物理光學(xué)模型，可以確定在測(cè)量中的偏差。 ~),;QQ, D0Vyh" ua 1. 簡介 _C< 6349w
6m, KL5>W 半徑干涉測(cè)量通常通過簡單的幾何模型來模擬，即，來自物鏡（或標(biāo)準(zhǔn)透鏡）的光線形成錐形并且聚焦到一點(diǎn)[1]。當(dāng)測(cè)試光學(xué)器件變小和/或需要更高的精度時(shí)，這個(gè)簡單的幾何模型就會(huì)產(chǎn)生問題并得到錯(cuò)誤的半徑測(cè)量值。需要完整的物理光學(xué)模型來捕獲系統(tǒng)的衍射效應(yīng)和像差。 x9x #'H3
[)Z 'N/;0 半徑干涉測(cè)量的原理圖如圖1所示。菲索或泰曼格林干涉儀都可用于半徑測(cè)量。在菲索干涉儀中，標(biāo)準(zhǔn)透鏡用作聚焦元件、分束和參考表面。在泰曼格林干涉儀中，使用分束器將光分成參考反射鏡和物鏡，它可以將光束聚焦到測(cè)試部件。 Qq, i
OYs zW]UMg 通過首先將部件放置在共焦位置，然后將部件移動(dòng)到貓眼位置，并測(cè)量部件移動(dòng)的距離，來測(cè)量測(cè)試部件的半徑，該距離就是測(cè)試部件的半徑。當(dāng)澤尼克多項(xiàng)式[1]的離焦項(xiàng)為零時(shí)，共焦和貓眼位置重合。在視覺上，靶心環(huán)是空的。因?yàn)椴僮髡卟荒軐⒉考䴗?zhǔn)確地放置在所需的位置，所以用于確定共焦和貓眼位置的最準(zhǔn)確的方法是逐步通過這兩個(gè)位置。當(dāng)操作者以小步幅移動(dòng)部件通過共焦和貓眼時(shí)，我們記錄離焦和Z位置。然后，我們用一條線擬合離焦VS.Z位置。共焦和貓眼位置是Z位置軸上的截距。這種通過共焦和貓眼步進(jìn)的方法可用于精確半徑測(cè)量[2]，我們?cè)谶@里用于半徑測(cè)量的模擬。 i\kTm?BQZ
&\J?[>EJ. 圖1：半徑干涉測(cè)量幾何模型原理圖 T:K"
在NIST的精密半徑干涉測(cè)量實(shí)驗(yàn)顯示了標(biāo)稱24.466mm半徑的Zerodur球的測(cè)量之間的差異。球體由坐標(biāo)測(cè)量儀機(jī)械測(cè)量，同時(shí)在使用不同標(biāo)準(zhǔn)透鏡的干涉儀上光學(xué)測(cè)量[2]。即使考慮了測(cè)量中的所有已知偏差和不確定性，這種在75nm至400nm范圍內(nèi)的差異仍然存在。對(duì)于這種差異的解釋可能是光被假定遵循幾何模型而不是更準(zhǔn)確的物理光學(xué)模型，我們將在這里進(jìn)行測(cè)試。 H4PbO/{ xO
%XEKhy 在光的幾何模型中，當(dāng)透鏡的頂點(diǎn)與光的焦點(diǎn)（發(fā)生在距離聚焦元件一個(gè)焦距處）重合時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)貓眼位置。然后，共焦位置距離貓眼位置一個(gè)半徑。在非像差幾何模型中，這發(fā)生在聚焦元件的波前的曲率等于測(cè)試部件的曲率時(shí)。 =~ GE?}.o
rxs~y{ Xi 半徑測(cè)量的高斯模型表明了當(dāng)使用幾何模型而不是更復(fù)雜的高斯模型時(shí)，半徑測(cè)量中存在誤差[3]。對(duì)于較小的半徑部分（<1mm），這個(gè)誤差是在105部件的量級(jí)，而對(duì)于較大的部件（25mm），有接近108部件的誤差。當(dāng)考慮具有半徑像差的高斯模型時(shí)，NIST [2]的研究者發(fā)現(xiàn)了6nm的誤差（107部件）。這些像差是由標(biāo)準(zhǔn)透鏡和系統(tǒng)中的其他光學(xué)元件的缺陷引起的。 QHHW(InG<
ZQ,fm`y\ 下一步是考慮物理光學(xué)模型。當(dāng)然，焦點(diǎn)區(qū)域的分析計(jì)算是不可行的，因此需要近似。對(duì)于這種物理光學(xué)模型，我們使用來自Photon Engineering的軟件包FRED [4]。 <ICZ"F`S _o@(wGeu# 2. FRED模型 Fb<n0[m
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,/a6M FRED通過將光源光束近似為點(diǎn)網(wǎng)格來近似物理光學(xué)模型，其中每個(gè)點(diǎn)發(fā)出高斯分布“子束”。 每個(gè)高斯子束以ABCD矩陣方法[5]傳輸通過光學(xué)系統(tǒng)。在每個(gè)子束通過系統(tǒng)之后，疊加“探測(cè)器”上子束的波前，以近似物理光學(xué)模型。FRED是一個(gè)可視化軟件包，其中透鏡、反射鏡和光源都顯示在它們的相對(duì)位置。FRED不執(zhí)行幾何分析。 [,OJX
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, s1&O` 為了模擬半徑測(cè)量，我們首先插入每個(gè)元件（光源、聚焦透鏡、測(cè)試部件和探測(cè)器）到FRED文件中。然后追跡來自光源的光線。光線由聚焦元件聚焦，從測(cè)試部分反射，再由聚焦元件準(zhǔn)直，然后在探測(cè)器處讀取。在探測(cè)器處的期望輸出是波前的相位。我們按照所述步驟通過共焦和貓眼位置，并獲得每個(gè)點(diǎn)的相位圖。然后我們使用Matlab讀取相位數(shù)據(jù)和Z位置，以確定共焦和貓眼的位置。半徑是兩個(gè)位置之間的差，半徑誤差是測(cè)試部件的輸入半徑和輸出半徑之間的差。 ${A5-
ioB|*D<U2 我們?cè)谀M半徑測(cè)量中使用了兩個(gè)不同的光源。我們測(cè)試了在整個(gè)圓形孔徑上具有恒定強(qiáng)度和相位的圓形孔徑光束，這模擬了最佳實(shí)驗(yàn)裝置。第二個(gè)光源是高斯強(qiáng)度光束，通過改變子束的強(qiáng)度，使得強(qiáng)度的疊加是高斯分布，來形成該高斯光束。光源波長為632.8nm（氦-氖），并設(shè)置為相干。子束的數(shù)量可以改變，并且影響測(cè)量的時(shí)間和輸出相位。我們測(cè)試了不同孔徑尺寸的光源，從直徑為4mm的微干涉儀到直徑為150mm的大尺度干涉儀。 Ys"|</;dbj
Vk MinE 我們測(cè)試了兩種類型的聚焦元件。因?yàn)镕RED使用實(shí)際光學(xué)器件而不是近軸近似，所以典型的透鏡具有太多的附加的球差。因此，我們首先使用拋物面作為聚焦元件，接下來使用具有圓錐表面（以減少像差）的透鏡作為聚焦元件。我們通過改變焦距來測(cè)試不同的數(shù)值孔徑。 ^=eq .(>
?TvQ"Y}k 我們測(cè)試了一系列測(cè)試部件，半徑從0.25mm到1mm，用于微干涉儀裝置，半徑25mm附近，用于宏觀干涉儀。模擬探測(cè)器以像素劃分，且可以改變。使用的像素越多，測(cè)量速度就越慢，并會(huì)影響相位輸出。圖4（a）示出了使用拋物面聚焦元件的示例測(cè)量。圖4（b）是當(dāng)部件位于貓眼附近時(shí)的波前相位圖的圖片。主要的誤差是離焦，這表明部件并不完全在貓眼處。 (NGu9uJs p yUNRqp 圖4.（a）FRED中半徑測(cè)量示意圖（b）來自FRED波前相位示例
k_,MoDz 3. 結(jié)果 <U@P=G< t
;;ER"N 由于篇幅限制，此處僅顯示了幾個(gè)結(jié)果。該模型顯示了半徑、貓眼位置和共焦位置處的誤差。也就是說，輸出半徑不等于輸入半徑，并且貓眼和共焦位置會(huì)有偏移。圖5顯示出對(duì)于改變NA和部件尺寸而沒有附加的像差的微干涉儀的模型的結(jié)果。如圖5（a）所示，誤差隨著的NA目標(biāo)變小而增加，如預(yù)期的那樣，因?yàn)榻裹c(diǎn)較大。此外，對(duì)于較大的部件，誤差較小，如圖5（b）所示。對(duì)于在f/3.2和25mm半徑輸入部件的宏觀尺度干涉儀，誤差為133nm，106中5個(gè)部件。這個(gè)誤差量可以開始解釋在NIST的實(shí)驗(yàn)中所顯示的差異[2]。這些誤差不存在任何像差。如果將典型的像差量添加到模型中，則預(yù)期誤差將增加，這是我們的工作的下一環(huán)節(jié)。 bjPka{PBj
,\ BVV, 圖5.使用幾何模型而不是更加復(fù)雜的FRED模型的誤差，數(shù)據(jù)來源于微干涉儀裝置。
S304ncS|M 4. 討論和總結(jié) 7cIC&(h 5
2{Wo-B,wt~ 我們預(yù)測(cè)模型假設(shè)將會(huì)在焦點(diǎn)區(qū)域附近受到挑戰(zhàn)，有時(shí)稱為焦散。在焦散點(diǎn)附近，射線不垂直于波前，以及“相位偏移”[6]，即使對(duì)于無像差波前也是如此。因此，波場(chǎng)的分析具有誤差。最近的一篇出版物很好地總結(jié)了情況，“對(duì)在不同介質(zhì)之間的彎曲界面處具有焦散的波場(chǎng)的分析仍然是一個(gè)重大挑戰(zhàn)...我們不知道任何現(xiàn)有的基于光線的模型可以分析這種情況”[7]。彎曲界面是半徑測(cè)量中的測(cè)試部件。為了解決這個(gè)問題，作者提出修改軟件中的高斯子束源來解決這個(gè)問題。這種用于光學(xué)建模的方法顯然不在本工作的范圍內(nèi)，而是在此介紹FRED中的誤差并作為未來研究的方向。 xj0cgK|!
285_|!.Y 我們進(jìn)行了有限的不確定性分析。第一個(gè)不確定性是散焦對(duì)位置圖擬合的不確定性，其由模型故障、解包算法中的誤差、相機(jī)的像素特性和澤尼克擬合算法中的誤差引起。由擬合引起的半徑不確定性有波動(dòng)，但對(duì)于大多數(shù)情況可以估計(jì)在±40nm。FRED模型中的另一個(gè)不確定性來源是選擇輸入光線子束的數(shù)量和相機(jī)中的像素?cái)?shù)量。這些選擇導(dǎo)致輸出半徑中的±31nm（光源）和±64nm（探測(cè)器器）的不確定性。我們使用簡單的和的平方根法來組合這三個(gè)不確定性來源，以估計(jì)來自FRED模型的半徑的不確定性為±81nm。因?yàn)檫@種不確定性很大，F(xiàn)RED不太可能用于校正在幾何模型中沒有考慮的高精度的偏差，但是我們?nèi)匀豢梢允褂肍RED尋找趨勢(shì)。 +O)]^"TG
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392 我們指出，當(dāng)使用簡單幾何模型而不是更復(fù)雜的物理光學(xué)模型時(shí)，在半徑干涉測(cè)量中存在誤差。該誤差隨著部件半徑的減小和物鏡NA的減小而增加。這個(gè)誤差可能有助于解釋一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果中發(fā)現(xiàn)的差異。但是，物理光學(xué)模型的近似不是完美的，也具有不確定性。這種不確定性使得軟件不可能用于校正測(cè)量中的偏差。該軟件可用于顯示由使用幾何模型而不是物理光學(xué)模型引起的不確定性的大小。 T#\p%w9d
